Aufgabe 1. Zu vorgegebenen ϑ > 0 sei in der nachfolgenden Abbildung die Dichte einer Lebensdauerverteilung gegeben.

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe am 05.11.2013 in der Vorlesung

Aufgabe 1. Zu vorgegebenen ϑ > 0 sei in der nachfolgenden Abbildung die Dichte einer Lebensdauerverteilung gegeben.

ϑ y

b x

(a) Bestimmen Sie die obere Grenze b in Abh¨ angigkeit von ϑ und geben Sie die Gleichung der Dichte an.

(b) Bestimmen Sie die Gleichung f¨ ur die Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung des Parame- ters ϑ zu einer Stichprobe vom Umfang n.

(c) Bestimmen Sie die Gleichung die Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung f¨ ur ϑ aus einer Stichprobe vom Umfang n = 1.

Aufgabe 2. Ein Versuch, bei dem ein Erreignis A mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) eintritt, wird so oft unabh¨ angig voneinander wiederholt bis zum z-ten mal A eintritt (z vorgegeben!). Die Zufallsvariable N bezeichnet die Anzahl der dazu erforderlichen Versuchsdurchf¨ uhrungen (N = z, z + 1, z + 2, . . .).

(a) Man bestimme die Verteilung von N !

(b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung f¨ ur p!

Aufgabe 3 (Guter Sch¨ atzer mit Bias). Wir betrachten das Binomialmodell. Sei also X = {0, 1, . . . , n}, Θ = [0, 1] und P ϑ = B _n,ϑ f¨ ur ϑ ∈ Θ.

(a) Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer T f¨ ur ϑ an. Zeigen Sie, daß dieser Sch¨ atzer erwartungstreu ist. Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler

F ϑ (T ) = E ϑ (T − ϑ) ²

= Var

ϑ (T ) + B ϑ (T ) ²

des Sch¨ atzers T .

(b) Wir betrachten nun den Sch¨ ater S(x) = (x + 1)/(n + 2) f¨ ur ϑ. Ist dieser Sch¨ atzer erwartungstreu? Falls nicht, berechnen Sie den Bias dieses Sch¨ atzers. Berechnen Sie außerdem den mittleren quadratischen Fehler F ϑ (S) des Sch¨ atzers S.

(c) Diskutieren Sie die erhaltenen Ergebnisse. Welchen Sch¨ atzer w¨ urden Sie empfehlen?

Aufgabe 4 (Erwartungstreue). Die Zufallsvariable X besitze eine Dichte der Form

f _ϑ (x) =



 

 

x

ϑ

falls 0 ≤ x ≤ ϑ,

2

ϑ − _ϑ ^x

falls ϑ < x ≤ 2ϑ,

0 sonst,

mit dem Parameter ϑ > 0.

(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und Varianz von X.

(b) Die Zufallsvariablen X ₁ , X ₂ , . . . , X _n seien unabh¨ angig und identisch verteilt wie X.

Bestimmen Sie a _n so, daß

T _n = a _n X ⁿ

i=1

X _i 2

eine erwartungstreue Sch¨ atzung f¨ ur die Varianz ist.

Zusatzaufgabe. Betrachten Sie zu einem gegebenen Mittelwert m ∈ R das n-fache Gauß’sche Produktmodell ( R ⁿ , B( R ⁿ ),

mathcalN _m,ϑ ^⊗n : ϑ > 0). Zeigen Sie: Die Statistik

T = r π

2 1 n

n

X

i=1

|X i − m|

auf R ⁿ ist ein erwartungstreuer Sch¨ atzer f¨ ur τ (ϑ) = √

ϑ, jedoch erreicht ihre Varianz f¨ ur

kein ϑ die Cram´ er-Rao-Schranke τ ⁰ (ϑ) ² /I(ϑ).