Technische Universit¨at Chemnitz Stochastik Fakult¨at f¨ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 8
Abgabe bis 16./17. Juni 07:30
Aufgabe 1. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Krankenhaus ist Poissonverteilt mit Parameterλ. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlichkeit p und ein M¨adchen mit Wahrscheinlichkeit q = 1−p, unabh¨angig von anderen Geburten und unabh¨angig von der Gesamtzahl der Geburten. Seien J undM die Zahl der Jungen beziehungsweise M¨adchen.
(a) Zeige P{J =j, M =m}= (λp)je−λp
j! · (λq)me−λq
m! .
(b) Folgere,J und M sind unabh¨angig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq.
Aufgabe 2 (Symmetrische Irrfahrt). Es bezeichne T−1 die Wartezeit, zu der die unbe- grenzt lange laufende symmetrische Irrfahrt zum ersten Mal den Wert−1 erreicht. T−1
nimmt also seine Werte in der Menge{1,3,5, . . . ,∞}an. Offenbar giltP{T−1 = 1}= 1/2 sowie
P{T−1 = 2m+ 1}= (2m−1)!!
(m+ 1)!2m+1
f¨ur m≥1. Berechnen Sie die erwartete Wartezeit bis der Irrl¨aufer zum ersten Mal den Wert −1 erreicht.
Hinweise: Der Erwartungswert von T−1 ist ¨uber E{T−1} := P∞
n=1n ·P{T−1 = n}
definiert.
Aufgabe 3. Seien{U1, . . . , Un}unabh¨angige und identisch verteilte Zufallsvariablen, die gleichverteilt auf dem Intervall [a, b] sind.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion vonZn := max{U1, . . . , Un}.
(b) Wie groß muss n gew¨ahlt werden, damit P(Zn > a+ 0.9·(b−a)) gr¨oßer als 99 Prozent ist?
Aufgabe 4 (Layer Cake). Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → ([0,∞],B([0,∞])) eine Zufallsvariable. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildungφ: Ω×R→R φ(ω, t) =
(1 falls X(ω)> t, 0 sonst
istA ⊗ B(R)− B(R)-messbar.
(b) Die AbbildungF :R→[0,1], F(t) = P(X > t) ist B(R)− B([0,1])-messbar.
(c) Zeigen Sie ohne den Satz von Fubini zu benutzen
E{X}:=
Z
Ω
X(ω)dP(ω) = Z ∞
0
P(X > t)dt = Z ∞
0
(1−FX(t))dt.
