Aufgabe 1. Es sei die (nicht symmetrische!) Tridigonalmatrix

(1)

Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Ira Neitzel

Fabian Hoppe

Ubungsblatt 10. ¨ Abgabe am 20. Dezember vor der Vorlesung.

Aufgabe 1. Es sei die (nicht symmetrische!) Tridigonalmatrix

A =







2

¹

−2

⁻²

2

⁻²

2

²

−2

⁻¹

2

⁻¹

2

³

−2

⁰

2

⁰

2

⁴

. ..

. .. . .. −2

ⁿ⁻⁴

2

ⁿ⁻⁴

2

ⁿ







∈ R

^n×n

gegeben.

Auf der Hauptdiagonalen finden sich die Zweierpotenzen 2

¹

, 2

²

, 2

³

, ... bis 2

ⁿ

; auf den Nebendi- agonalen stehen die Zweierpotenzen 2

⁻²

, 2

⁻¹

, 2

⁰

, ... bis 2

ⁿ⁻⁴

mit positivem Vorzeichen (untere Nebendiagonale) bzw. negativem Vorzeichen (obere Nebendiagonale).

a) Zeigen Sie: A hat n einfache reelle Eigenwerte.

b) Sch¨ atzen Sie die Konditionszahl (bzgl. der euklidischen Norm) von A ab.

(3 + 2 = 5 Punkte)

Aufgabe 2. Sei A ∈ R

^n×n

symmetrisch mit gr¨ oßtem Eigenwert λ

₁

∈ R . Sei nun (¨ ahnlich zu einer fr¨ uheren Definition) f¨ ur ein z ∈ R

ⁿ

und k ∈ N

K

k

(A, z) := span

z , Az , ..., A

^k−1

z

der k-te Krylovraum von A bzgl. z und W

k

∈ R

^n×k

eine Matrix, deren Spalten eine Or- thonormalbasis von K

_k

(A, z) bilden. Ferner sei µ

^(k)₁

der gr¨ oßte Eigenwert der ebenfalls symmetrischen Matrix W

_k^T

AW

_k

∈ R

^k×k

.

a) Zeigen Sie: Es gilt λ

₁

≥ µ

^(k₁ ⁾

f¨ ur alle 1 ≤ k ≤ n und µ

^(k₁ ⁾

ist unabh¨ angig von der konkreten Wahl der Orthonormalbasis f¨ ur K

k

(A, z ).

b) K¨ onnen Sie µ

^(k)₁

in Relation zu den N¨ aherungen ν

₁^(k)

f¨ ur λ

1

, die durch die Vektor- iteration mit Startvektor z generiert werden, setzen?

(4 + 3 = 7 Punkte)

1

(2)

Aufgabe 3. Es sei A ∈ R

^m×n

und A = U ΣV

^T

die Singul¨ arwertzerlegung von A mit Σ = diag(σ

₁

, . . . , σ

_r

, 0, . . . , 0) ∈ R

^m×n

mit σ

₁

≥ σ

₂

≥ · · · ≥ σ

_r

> 0, r := rank(A), und orthogonalen Matrizen

U = (u

1

, u

2

, . . . , u

m

) ∈ R

^m×m

, V = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) ∈ R

^n×n

, wobei u

i

bzw. v

i

jeweils die Spaltenvektoren von U bzw. V bezeichnen.

F¨ ur 1 ≤ k < r definieren wir

A

_k

:=

k

X

i=1

σ

_i

u

_i

v

_i^T

.

a) Beweisen Sie, dass A

_k

die Rang-k-Bestapproximation von A ist, d.h. dass min

Rang(B)=k

kA − Bk

₂

= kA − A

_k

k

₂

= σ

_k₊₁

.

erf¨ ullt ist.

Hinweis: k·k

2

bezeichnet die von der euklidischen 2-Norm k·k

2

induzierte Operatornorm (“Spektralnorm”).

b) Wie k¨ onnte man dementsprechend vorgehen, um bei der Speicherung von A Platz zu sparen?

(6 + 2 = 8 Punkte)

2