Aufgabe VI.4 a) Sei (an)eine Folge inR, definiert durch an= (−1)n n 2n+ 1 für n∈N

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 1 Blatt VI vom 20.11.14

Aufgabe VI.1

Gegeben sind die Folgen(a_n) und (b_n)durch

an= 7n+ 3

(1 +n)² , bn= (3−n)³ 3n³−1 .

Bestimmen Sie jeweils Infimum und Supremum der Folgen und untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz.

Aufgabe VI.2

Sei (a_n) eine Cauchy-Folge in R, welche nicht gegen Null konvergiert. Beweisen Sie die folgende Aussage:

∃ε >0∃n₀ ∈N ∀n≥n0 : |a_n| ≥ε.

Aufgabe VI.3

Seien(an) eine Folge inRund (bn) definiert duch bn=an−an+1. Sind die folgenden Aussagen wahr?

a) Ist (an) konvergent, so ist (bn) eine Nullfolge.

b) Ist (b_n) eine Nullfolge, so konvergiert(a_n).

Aufgabe VI.4

a) Sei (a_n)eine Folge inR, definiert durch

an= (−1)ⁿ n

2n+ 1 für n∈N.

Bestimmen Sie alle Häufungswerte von (a_n). Geben Sie jeweils eine Teilfolge an, die gegen diese Häufungswerte konvergiert.

b) Zeigen Sie, dass die Folge(b_n), definiert durch b_n= 2ⁿ fürn∈N, keinen Häufungswert besitzt.