Aufgabe 1. Sei R n ∈ R n×n die Untermatrix der ersten n Zeilen und Spalten von R 8 . Zeige für n = 4, 5, 6, 7, 8: kb 1 k 2 = 2 = γ n (det R n )

(1)

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2015/16

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 1, 28.10.2015, Abgabe 11.11.2015

Entnehme γ n der Tabelle 2.2.2, Seite 21 des Skripts zur Vorlesung Gitter und Kryptographie. Entnehme R ₈ , B ₂₄ den Seiten 21, 22 des Skripts.

Aufgabe 1. Sei R n ∈ R ^n×n die Untermatrix der ersten n Zeilen und Spalten von R ₈ . Zeige für n = 4, 5, 6, 7, 8: kb ₁ k ² = 2 = γ _n (det R _n )

²ⁿ

.

Zeige λ 1 (L(R n )) ² = 2 für n = 1, . . . , 8 mittels Lemma 2.2.3 des Skripts.

Aufgabe 2. Sei B ₈ die Matrix der ersten 8 Zeilen und Spalten der Basis B ₂₄ zum Leech Gitter. Gebe 240 Vektoren b in L(B ₈ ) an mit ||b|| = 2 = λ ₁ . Begründe dass die Aufzählung vollständig ist.

Aufgabe 3. Beweise Kor. 4.1.5 des Skripts aus Satz 4.1.4, Lemma 4.1.2.

Zeige, dass für jede LLL–Basis gilt kb ₁ k/λ ₁ ≤ α

ⁿ⁻¹⁴

/(rd(L) √ γ _n ).

Dabei sei rd(L) = λ ₁ /( √

γ _n (det L) ^1/n ) die relative Dichte des Gitters L.

Aufgabe 4. Sei A ⁿ = L(B _n ) = {(x ₀ , x ₁ , · · · , x _n ) ∈ Z ⁿ⁺¹ | P n

i=0 x _i = 0}

für B n :=







−1 0 0 · · · 0

1 −1 0 · · · 0

0 1 −1 · · · 0

· · · · · ·

0 0 · · · 1 −1

0 0 · · · 0 1







∈ Z ^(n+1)×n .

Zeige durch Induktion über n dass det(GNF(B _n )) = √ n + 1.

5 Punkte pro Aufgabe

Aufgabe 1. Sei R n ∈ R n×n die Untermatrix der ersten n Zeilen und Spalten von R 8 . Zeige für n = 4, 5, 6, 7, 8: kb 1 k 2 = 2 = γ n (det R n )

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2015/16

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 1, 28.10.2015, Abgabe 11.11.2015

Entnehme γ n der Tabelle 2.2.2, Seite 21 des Skripts zur Vorlesung Gitter und Kryptographie. Entnehme R 8 , B 24 den Seiten 21, 22 des Skripts.