Abgabe bis 08. Dezember 07:30

Technische Universit¨at Chemnitz Statistik Fakult¨at f¨ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´c, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 4

Abgabe bis 08. Dezember 07:30

Aufgabe 1 (Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit). Im Jahre 1879 machte der ameri- kanische Physiker (und Nobel-Preistr¨ager) Albert Abraham Michelson f¨unf Messreihen zu je 20 Messungen zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit; die Ergebnisse finden Sie unter http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Michelson.html. Nehmen Sie an, daß die Messergebnisse normalverteilt sind, mit unbekanntem Mittelwert m und unbekannter Varianz v, und bestimmen Sie jeweils f¨ur die erste und zweite Messrei- he sowie f¨ur die ersten beiden Messreihen zusammen ein Konfidenzintervall f¨ur die Lichtgeschwindigkeit zum Irrtumsniveau 0.02.

Aufgabe 2 (Folgen falscher Modellwahl). Ein Experimentator macht n unabh¨angige normalverteilte Messungen mit unbekanntem Erwartungswert m. Die Varianz v > 0 meint er zu kennen.

(a) Welches Konfidenzintervall f¨ur m wird er zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α angeben?

(b) Der Experimentator hat sich geirrt. Die wahre Varianz ist nicht v sondern σ > 0.

Welches Irrtumsniveau α⁰ hat das in (a) gefundene Konfidenzintervall, wenn die Varianz in Wirklichkeit σ ist? Das heißt, geben Sie ein (m¨oglichst kleines) α⁰ ∈[0,1]

an, so daß

m∈infR

N_m,σ^⊗n {x∈Rⁿ:C(x)3m}

≥1−α⁰,

wobei C(x) das in (a) gefundene Konfidenzintervall ist. Diskutieren Sie den Grenzfall σ→ ∞.

Aufgabe 3 (Konfidenzpunkte). Gegeben sei das Gauß-Produktmodell mit bekannter Varianz v >0 und unbekanntem ganzzahligen Erwartungswert, also (Rⁿ,Bⁿ,Pϑ :ϑ ∈Z) mitPϑ=N_ϑ,v^⊗n. Seini :R→Z die ”nearest-integer-Funktion”, d. h. f¨ur x∈Rsei ni(x)∈ Zdie ganze Zahl mit kleinstem Abstand von x, mit der Vereinbarung ni(z−1/2) =z f¨urz ∈Z. Zeigen Sie:

(a) ˜M =ni(M) ist ein Maximum-Likelihood-Sch¨atzer f¨ur ϑ.

(b) ˜M besitzt unterPϑ die diskrete Verteilung Pϑ( ˜M =k) = Φ(a₊(k))−Φ(a−(k)) und ist erwartungstreu. Hier ist a±(k) = (k−ϑ±1/2)p

n/v und Φ(t) =N0,1((−∞, c)).

(c) F¨ur beliebiges α >0 und hinreichend großes n gilt inf_ϑ∈ZP^ϑ( ˜M =ϑ)≥1−α.

Aufgabe 4 (Diskrete Gleichverteilung auf {1,2, . . . , N}). Betrachten Sie die Situation von Aufgabe 1 von Hausaufgabenblatt 2. SeiT der dort gefundene Maximum-Likelihood- Sch¨atzer f¨ur N. Bestimmen Sie einen kleinstm¨oglichen Konfidenzbereich f¨ur N zum Niveau α der Gestalt C(x) = {T(x), . . . , cT(x)}.