Abgabe bis 24. November 07:30

Technische Universit¨at Chemnitz Statistik Fakult¨at f¨ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´c, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 3

Abgabe bis 24. November 07:30

Aufgabe 1. Von einer Schmetterlingsart gebe es drei Varianten 1, 2 und 3 in den Proportionen

p₁(ϑ) = ϑ², p₂(ϑ) = 2ϑ(1−ϑ) und p₃(ϑ) = (1−ϑ)²,

wobei ϑ ∈ [0,1] ein unbekannter Parameter ist. Unter n gefangenen Schmetterlingen dieser Art beobachten Sien_i Exemplare der Variante i, i= 1,2,3. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨atzer T f¨ur ϑ. Vergessen Sie nicht, die Grenzf¨alle n₁ =n und n3 =n zu betrachten.

Aufgabe 2.Betrachten Sie zu einem gegebenen Mittelwertm∈Rdasn-fache Gauß’sche Produktmodell (Rⁿ,B(Rⁿ),N_m,ϑ^⊗n :ϑ >0). Zeigen Sie: Die Statistik

T = rπ

2 1 n

n

X

i=1

|Xi−m|

aufRⁿist ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨urτ(ϑ) = √

ϑ, jedoch erreicht ihre Varianz f¨ur kein ϑ die Cram´er-Rao-Schranke τ(ϑ)²/I(ϑ).

Aufgabe 3. Gegeben sei das statistische Produktmodell (Rⁿ,B(Rⁿ), Q^⊗n_ϑ : ϑ ∈ R).

Dabei sei Q_ϑ die sogenannte zweiseitige Exponentialverteilung oder Laplace-Verteilung mit Zentrum ϑ, d. h. das Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R,B(R)) mit Dichtefunktion

ρ_ϑ(x) = 1

2e^−|x−ϑ|, x∈R.

(Vergleichen Sie Aufgabe 3 von Hausaufgabenblatt 2.) F¨ur jedes n ≥ 1 sei T_n ein be- liebiger Maximum-Likelihood-Sch¨atzer aufgrund von n unabh¨angigen Beobachtungen.

Zeigen Sie: Die Folge (T_n) ist konsistent.

Aufgabe 4. Gegeben sei das statistische Modell (R,B(R),Pϑ : ϑ ∈ R), wobei Pϑ das Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichtefunktion

ρϑ(x) = e^−(x−ϑ)1[ϑ,∞)(x)

sei. Konstruieren Sie ein minimales Konfidenzintervall f¨urϑ zum Irrtumsniveau α.