Orthogonale Projektion Die orthogonale Projektion
V 3v 7→PU(v)∈U
auf einen UnterraumU eines VektorraumsV ist durch die Orthogonalit¨atsbedingung
hu,v−PU(v)i= 0, ∀u ∈U charakterisiert.
Ist {u1, . . . ,um} eine orthogonale Basis von U, so besitzt PU die Darstellung
PU(v) =
m
X
k=1
huk,vi huk,ukiuk.
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Insbesondere gilt f¨ur V =Rn PUv =
m
X
k=1
|uk|−2uk(uktv) mit der Projektionsmatrix P
k|uk|−2ukukt. F¨urv =Cn ist der
transponierte Vektor ut durch den adjungierten Vektoru∗ (Transposition und komplexe Konjugation) zu ersetzen.
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Beispiel
Projektion PHw vonw = (−7,2,1,−6)t auf den von den orthogonalen Basisvektoren
u= (−2,1,2,0)t,v = (0,2,−1,2)t aufgespannten Unterraum von R4
u ⊥v =⇒
PUw = utw
|u|2u+ vtw
|v|2v Koeffizient von u
(−2,1,2,0)t,(−7,2,1,−6)t
|(−2,1,2,0)t|2 = 14 + 2 + 2 + 0 4 + 1 + 4 + 0 = 2 Koeffizient von v
(0,2,−1,2)t,(−7,2,1,−6)t
|(0,2,−1,2)t|2 = 0 + 4−1−12 0 + 4 + 1 + 4 =−1
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Projektion
PUw = 2·
−2 1 2 0
+ (−1)·
0 2
−1 2
=
−4 0 5
−2
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