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Behauptung: F¨ur jedenK-VektorraumV mit Untervektorr¨aumenU undW gilt stets V =U⊕W ⇒U ∼=V /W.
Beweis: Sei v ∈V. Wegen U⊕W =V gibt es (eindeutige)u∈ U und w∈W mit u+w=v.
Sodann definieren wir eine lineare Abbildung
ϕ:V →U v=u+w7→u.
Diese Abbildung ist offenbar surjektiv, d.h. imϕ=U. Ferner gilt kerϕ=W, denn f¨urv= 0 +w∈ W giltϕ(v) = 0. Nach dem Homomorphiesatz giltV /kerϕ∼= imϕ. Hier bedeutet dies gerade
V /W ∼=U, dies war zu zeigen.
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