W. Werner und T. Timmermann SS 13
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II Blatt 2
Abgabe bis Freitag, 26. April, 12 Uhr
Aufgaben zur Bearbeitung in der ¨Ubung
Aufgabe 1. (a) Seien U, V Unterr¨aume eines festen Vektorraumes. Be- weisen Sie, dass dann dim(U+V) = dim(U) + dim(V)−dim(U ∩V).
W¨ahlen Sie daf¨ur schrittweise jeweils eine Basis
• w1, . . . , wk von W :=U ∩V mit k = dim(W),
• von U der Form w1, . . . , wk, u1, . . . , ul mit l = dim(U)−dim(W),
• vonV der Formw1, . . . , wk, v1, . . . , vm mitm = dim(V)−dim(W) und betrachten Sie die Vektorenw1, . . . , wk, u1, . . . , ul, v1, . . . , vm. (b) Veranschaulichen Sie sich im Fall V = R3 die m¨oglichen Werte f¨ur
dim(U),dim(V),dim(U ∩V) und dim(U +V). (Nicht zur Abgabe.) Aufgabe 2. (a) Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus dem R3
ist linear unabh¨angig? Ein Erzeugendensystem? Eine Basis? Warum?
(a)
1 1 1
,
2 1 0
,
0 0 1
, (b)
1 0 4
,
2 0 8
,
1 0 8
,
0 1 1
.
(b) Gibt es eine lineare Abbildung F : R3 → R4 mit F(vi) = wi f¨ur i= 1, . . . ,4 und
v1 = (0,0,1), v2 = (2,1,1), v3 = (0,1,1), v4 = (2,0,1), w1 = (1,1,1,1), w2 = (1,0,1,0), w3 = (0,0,0,1), w4 = (2,1,2,1)?
(Hinweis: Gibt es λ1, . . . , λ4 ∈R mit P
iλivi = 0 undP
iλiwi 6= 0?) Aufgaben zur Bearbeitung daheim
Aufgabe 3. Wir betrachten den VektorraumC([0,1]). Zeigen Sie, dass die Menge {Xk : k ∈ N} ⊂ C([0,1]) linear unabh¨angig ist, wobei Xk(t) = tk f¨ur k ∈N, t ∈[0,1]. Kann C([0,1]) endliche Dimension haben?
(Hinweis: Betrachten Sie Ableitungen von Funktionen der FormPn
i=0λiXi.) Aufgabe 4. Welche der folgenden Abbildungen ist linear? Warum?
(a) F: C([0,1])→C, f 7→R1
0 dx f(x)x2, (b) G:R2 →R, (x, y)7→(x+y)2−(x−y)2; (c) H:R2 →R, (x, y)7→2x+ 3y−1;
(d) K: R2 →R, (x, y)7→ |x−y|+|x+y|.
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