Universit¨at Konstanz Sabine Burgdorf Fachbereich Mathematik und Statistik Mar´ıa L´opez Quijorna
Sommersemester 2018 Markus Schweighofer
Ubungsblatt 4 zur Linearen Algebra II¨
Aufgabe 1: SeienA,B und C Mengen. Zeige:
(a) Die Abbildungen
Φ :CA×B →(CB)A
f 7→ A→CB a7→f(a, .)
!
und
Ψ : (CB)A→CA×B
g7→ A×B →C (a, b)7→(g(a))(b)
!
sind zueinander invers.
(b) IstCsogar einK-Vektorraum, so sind Φ und Ψ sogarK-Vektorraumisomorphismen.
Aufgabe 2: SeienU,V und W K-Vektorr¨aume. Zeige, dass die Abbildungen Φ : {b|b:U ×V →W bilinear} →Hom(U,Hom(V, W))
b7→ U →Hom(V, W) u7→b(u, .)
!
und
Ψ : Hom(U,Hom(V, W))→ {b|b:U ×V →W bilinear}
f 7→ U ×V →W (u, v)7→(f(u))(v)
!
zueinander inverse K-Vektorraumisomorphismen sind.
Aufgabe 3: Sei K ein K¨orper. Zeige, dass die Menge {(1, x, x2, x3, . . .) | x ∈ K} im K-Vektorraum KN0 aller Folgen inK linear unabh¨angig, aber keine Basis ist.
Bemerkung: Falls niemand in der Lage ist, zu zeigen, dass sie keine Basis ist, wird die Aufgabe mit Hinweisen auf dem n¨achsten Blatt noch einmal gestellt.
Abgabe bis Freitag, den 18. Mai 2018, um 9:55 Uhr in das Fach Ihres Tutors neben dem Raum F411.
