Blatt 5, 20.01.2016, Abgabe 03.02.2016 Aufgabe 1. Sei b ∈ L(B n,c ), b ∼ (u, v). Zeige für v 0 ∈ Z ,

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2015/16

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 5, 20.01.2016, Abgabe 03.02.2016 Aufgabe 1. Sei b ∈ L(B _n,c ), b ∼ (u, v). Zeige für v ⁰ ∈ Z ,

dass ||b − v ⁰ N|| ² ≥ ln uv + ˆ z ² _b−v

N ( mit Gleichheit für quadratfreies uv ) für ˆ

z _b−v

_N := N ^c (ln ^u

vN

) = N ^c (ln ^u _v −v ⁰ ln N ), die letzte Koordinate von b−v ⁰ N.

Hinweis : Modifiziere den Nachweis von Fact 1.

Aufgabe 2. Sei b ∈ L(B _n,c ), b ∼ (u, v). Ferner habe b − v ⁰ N mit v ⁰ ∈ Z \ {0} minimale Länge in L(N, B _n,c ).

Zeige: λ ² ₁ (L(N, B _n,c )) > (2c − 1) ln N + ˆ z _b−v ²

N mit "≈ ” für quadratfreies uv.

Hinweis : Folge dem Beweis von Lemma 2, aber benutze die Behauptung von Aufgabe 1 statt Fact 1.

D.h. in der unteren Schranke zu λ ² ₁ von L(B _n,c ) nach Lemma 2 wird 2c ln N erniedrigt zu (2c − 1) ln N , denn wegen u − vN ^v

≈ o(u) gilt ln v = ln u − v ⁰ ln N + o(1), aber z ˆ _b ² erhöht sich auf z ˆ ² _b−v

N .

Aufgabe 3. Sei B n,c ∈ R ^(n+1)×n die Primzahlbasis

B _n,c =

















√ ln p ₁ 0 0

0 . .. 0

0 0 √

ln p _n N ^c ln p ₁ · · · N ^c ln p _n

















c = (ln N ) ^β ≥ 1, p _n = (ln N ) ^α

Zeige: rd(L) = o(n ^−1/4 ) falls α > 2β + 2 und

M _n,c = n

(u, v) ∈ N ²

|u − v | = 1, N ^c /2 ≤ v ≤ N ^c u, v are p n -smooth

o 6= ∅.

Dabei ist rd(L) definiert durch λ ² ₁ = γ _n rd(L) ² (det(L)) ^2/n

Hinweis : Beweis von Theorem 4 in Factoring Integers by CVP Algorithms.

Punktzahlen: 5, 6, 8