X k=0 5·(3−1)k Aufgabe V.2 a) Zeigen Sie, dass die Reihe g(x

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt V vom 11.11.2009

Aufgabe V.1

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz/Divergenz. Beweisen Sie Ihre Be- hauptungen.

a)

∞

X

k=1

√k 3 4

^k

b)

∞

X

k=1

2^k k^k

c)

∞

X

k=1

k² 1 +k³ d)

∞

X

k=0

(−q)^k+ (−q)^k+1

1−q f¨ur 0< q <1 e)

∞

X

k=0

5·(3⁻¹)^k

Aufgabe V.2

a) Zeigen Sie, dass die Reihe

g(x) =

∞

X

k=0

1

2k+ 1x^2k+1 f¨ur allex∈Rmit|x|<1 konvergiert.

b) Wieviele Reihenglieder muss man in den F¨allenx= ¹₂,¹₄,₁₀¹ jeweils ber¨ucksichtigen, umg(x) mit einer Genauigkeit von 10⁻⁶ zu berechnen?

Hinweis: Betrachten Sie f¨ur|x| ≤ ¹2 den Fehler FN, definiert durch FN =

g(x)−

N−1

X

k=0

1

2k+ 1x^2k+1

und sch¨atzen diesen nach oben ab.

1