Pyramidendach
Anregung: W. K., L. und S. R., C. Ma.
1 Das Problem
Ein Turm mit dem Grundriss eines regelmäßigen Sechseckes hat ein Pyramidendach.
v!
Ich trotze Wind und Wetter
Nun regnet es schräg auf das Dach. Wie nass werden die Dachflächen?
2 Bearbeitung
Wir bearbeiten die allgemeine Situation eines Turmes mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundriss und nummerieren die Dachflächen mit k∈
{
1, ...,n}
.Die aufgenommene Wassermenge pro Flächeneinheit und Zeiteinheit ist proportional zum Kosinus des Winkels zwischen dem Regenrichtungsvektor v! und dem nach unten gerichteten Normalvektor der Fläche. Für die Dachfläche mit der Nummer k haben wir den nach unten gerichteten Normalvektor von der Form:
n!k =−
cos
(
k2πn +δ)
sin
(
k2πn +δ)
m
⎡
⎣
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥⎥
⎥
Mit dem Neigungswinkel φ der Dachflächen ist m=tan
( )
φ . Weiter ist n!k = 1+m2 , unabhängig von k.Für den Regenrichtungsvektor v! verwenden wir die Notation:
cos ! nk,!
(
v)
= acos(
k2πn +δ)
+bsin(
k2πn +δ)
+cmv 1+m2
Für das gesamte Dach ergibt sich:
cos ! nk,!
(
v)
k=1
∑
n = v 1+m1 2 a cos(
k2nπ+δ)
k=1
∑
n"$$#=0$$%
+b sin
(
k2πn +δ)
k=1
∑
n"$$#=0$$% +ncm
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
= ncm
v 1+m2
3 Nur jede zweite Dachfläche
Nun nehmen wir an, n sei eine gerade Zahl, und betrachten nur jede zweite Dachfläche, also zum Beispiel die Dachflächen mit geraden Nummern. Dafür erhalten wir:
cos ! n2j,!
(
v)
j=1
n
∑
2 = v 1+1m2 a cos 2(
j2nπ+δ)
j=1
n
∑
2=0
"$$$#$$$%
+b sin 2
(
j2πn +δ)
j=1
n
∑
2"$$$#=0$$$%
+n2cm
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
= n2cm
v 1+m2
Es rauscht also genau die Hälfte des Regens auf die Dachflächen mit geraden Num- mern, die andere Hälfte auf die Dachflächen mit ungeraden Nummern. Dies trotz schrä- gen Regens, dem die einzelnen Dachflächen ganz unterschiedlich exponiert sind.
4 Verallgemeinerung
Analog gilt allgemein: Falls n= pq, so erhält eine regelmäßige Auswahl jeder p-ten Dachfläche genau den Anteil 1p des gesamten Himmelswasser auf dem Dach. Und das trotz des schrägen Regens.
5 Beweisskizze
Der Witz der Sache ist natürlich, dass die angegebenen Summen verschwinden. Dies kann so eingesehen werden: Die n ebenen Einheitsvektoren !
ek = cos
(
k2nπ+δ)
sin
(
k2nπ+δ)
⎡
⎣
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
bilden ein regelmäßiges Vektorenbüschel. Zusammengesetzt ergeben sie ein geschlossenes n- Eck, die Summen der ersten wie auch die Summen der zweiten Komponenten sind also null.
Entsprechendes gilt auch für eine regelmäßige Auswahl aus diesem Vektorenbüschel.
Als Illustration die Situation für n=12.
Zwölfkant-Turm
Wenn wir alle zwölf Vektoren nehmen, setzen sie sich zu einem regelmäßigen 12-Eck zusammen.
Regelmäßiges Zwölfeck
Wenn wir nur jeden zweiten Vektor auswählen, ergibt sich ein regelmäßiges Sechseck.
Regelmäßiges Sechseck
Grün wird gleich nass wie rot
Wenn wir nur jeden dritten Vektor auswählen, erhalten wir ein Quadrat.
Quadrat
Blau wird gleich nass wie rot und wie grün
Wenn wir nur jeden vierten Vektor nehmen, ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck.
Gleichseitiges Dreieck
Auf allen Farben je dieselbe Nässe
Es sei der Leserin überlassen, zu überlegen, ob und wie das weitergeht.
Dach in allen Farben
