Matrix
Eine m×n-Matrix besteht aus m·n Elementen, die inm Zeilen undn Spalten angeordnet sind:
A= (aj,k) =
a1,1 a1,2 · · · a1,n
... ... ... am,1 am,2 · · · am,n
.
Man bezeichnet
utj = (aj,1, . . . ,aj,n), vk =
a1,k
... am,k
als j-ten Zeilen- bzw.k-ten Spaltenvektor und schreibt ebenfalls
u1t
Speziell ist eine 1×n-Matrix ein Zeilen- und einem×1-Matrix ein Spaltenvektor.
F¨ur Elemente inQ,RoderCbilden die m×n-Matrizen einen Vektorraum mit elementweise definierter Addition und skalarer Multiplikation:
C =A+B ⇐⇒ cj,k =aj,k +bj,k, C =sA ⇐⇒ cj,k =saj,k.
Beispiel
Verschiedene Matrixdimensionen Zeilen- und Spaltenvektor
(11,12,13),
11 21
Komplexe 2×2-Matrix
1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i
Rationale 2×3-Matrix
1/1 1/2 1/3 2/1 2/2 2/3
Matrix einer linearen Abbildung
Eine lineare Abbildung L: V →W zwischen zwei K-Vektorr¨aumen mit den Basen E ={e1, . . . ,en} und F ={f1, . . . ,fm} ist durch die Bilder der Basisvektoren
L(ek) =a1,kf1+· · ·+am,kfm, k = 1, . . . ,n, eindeutig bestimmt. Sie besitzt die Matrixdarstellung
w =L(v) ⇐⇒ wj =
n
X
k=1
aj,kvk, j = 1, . . . ,m,
wobei vk und wj die Koordinaten von v und w =L(v) bzgl. der Basen E und F bezeichnen. In der k-ten Spalte der Matrix Astehen also die Koordinaten von L(ek) bez¨uglich der BasisF.
Beweis
L ist aufgrund der Bedingungen f¨ur Linearit¨at durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt:
w =L(v) =L X
k
vkek
!
=X
k
vkL(ek) =X
k
X
j
vkaj,kfj mit den Basiskoeffizienten vk von v.
Basisdarstellung von w
w =X
j
wjfj
Vergleich der Koordinaten der Basisvektoren Matrixdarstellung wj =
n
X
k=1
aj,kvk
Beispiel
Lineare Abbildungen L: R2 →R2
der Ebene festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren
e1 = 1
0
, e2=
0 1
(i) Skalierung mit Faktoren r und s: L(e1) =
r 0
,L(e2) = 0
s
=⇒ A=
r 0 0 s
(ii) Drehung um einen Winkel ϕ:
L(e1) =
cosϕ sinϕ
,L(e2) =
−sinϕ cosϕ
=⇒ A=
cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ
(iii) Scherung umd in horizontaler Richtung:
L(e1) = 1
0
,L(e2) = d
1
=⇒ A=
1 d 0 1
Beispiel
Interpolationsmatrizen
(i) Auswertung einer linearen Funktion p an den Punkten x = 0,1:
L: p 7→
p(0) p(1)
, p(x) =a0+a1x Matrix bzgl. der Monombasis p1 : x7→1,p2: x 7→x
L(p1),L(p2)
=
1 0 1 1
Matrix bzgl. der Basis p1: x 7→1−x,p2 : x7→x p1(0) p2(0)
p1(1) p2(1)
=
1 0 0 1
(ii) Auswertung eines Polynoms vom Grad ≤n anm St¨utzstellen x =x1, . . . ,xm:
Monombasis, qk : x 7→xk,k= 0, . . . ,n Vandermonde-Matrix
V =
x10 x11 · · · x1n x20 x21 · · · x2n ... ... . .. ... xm0 xm1 · · · xmn
Spaltek: Auswertung des Monomsqk an den Punktenx1, . . . ,xm Zeile j: Auswertung der Monomeqk,k = 0, . . . ,n, am Punktxj p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn =⇒
p(xj) =
n
X
k=0
vj,kak
