x=n a Periodische Randbedingungen: un+N =un ⇒ eikN a = 1 ⇒ k = 2π a m N , m = 0,±1,±2

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 11

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 9

Dr. B. Narozhny 24.6.2011

1. Harmonische Kette:

(a) Bewegungsgleichungen:

d dt

∂L

∂u˙_n = ∂L

∂u_n , d dt

∂L

∂s˙_n = ∂L

∂s_n , T = 1 2mX

n

[ ( ˙un)²+ ( ˙sn)²]

⇒ mu¨_n = −K(u_n−s_n)−G(u_n−s_n−1) m¨sn = −K(sn−un)−G(sn−un+1) Ansatz:

un(t) = u e^i(kx−ωt)

sn(t) = s e^i(kx−ωt) , x=n a Periodische Randbedingungen:

un+N =un ⇒ e^{ikN a} = 1 ⇒ k = 2π a

m

N , m = 0,±1,±2, . . .

Eindeutigkeit der L¨osung: Der Phasenfaktore^iknaist f¨ur zweik, die sich umG= ^2π_al unterscheiden, gleich:

e^ikna=e^i(k+G)na , G= 2π

a l , l= 0,±1,±2, . . . Daher muß k eingeschr¨ankt werden auf

k = 2π a

m

N , m= 0,1,2, . . . ,(N −1) oder alternativ:

m = (−N/2 + 1),(−N/2 + 2), . . . ,−1,0,1, . . . ,(N/2) ⇔ −π

a < k≤ π a (b) Ansatz in Bewegungsgleichungen einsetzen:

[mω²−(K+G) ]u+ [K+G e^−ika]s = 0 [K+G e^ika]u+ [mω²−(K+G) ]s = 0 Nichttriviale L¨osung f¨ur

[mω²−(K+G) ]²−(K+Ge^−ika)(K+Ge^ika) = 0

⇒ mω² = (K+G)±p

K²+G²+ 2KGcos(ka)

g=1

g=0.5

ka/π

(+)

(−)

(−) (+)

0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0

0.5 1 1.5 2

−0.5 0.5

−1 0 0.5 1

1 0

−1

Abbildung 1: Die Dispersion von optischer (+) und akustischer (−) Mode f¨ur unterschiedliche Federn G = 0.5K (unten) und identische Federn G = K (oben). F¨ur K = G verschwindet die optische Mode bzw. geht in die zur¨uckgefaltete akustische ¨uber.

Die zugeh¨origen Moden werden bestimmt durch die L¨osung des Gleichungssystems:

⇒ s

u = −[K+Ge^ika]

mω²−(K +G) =∓ [K+Ge^ika]

pK²+G²+ 2KGcos(ka) Interessant ist jetzt der Grenzfallk →0 :

k ≪π/a : cos(ka)≃1− 1 2(ka)²

⇒ mω² = (K+G)±p

(K+G)² −KG(ka)²

= (K+G)

1±

1− KG

2(K+G)²(ka)²

⇒ ω+= r2

m(K+G) , ω− =

s KG

2(K+G)ka≡c k

und s

u ≃ ∓ (K+G)

(K +G)(1− _2(K+G)^KG 2(ka)²) ≃ ∓1 F¨ur kleine k unterscheiden sich also deutlich die Moden:

ka≪π :

(+) : ω₊ = const. s

u = −1 gegenphasig (optisch)

(−) : ω− = c k s

u = +1 gleichphasig (akustisch)

Die Dispersion ist in Abb. 1 gezeigt, und zwar in der Form ω± = K

m

h(1 +g)±p

1 +g²+ 2gcos(ka)i1/2

, g = G

K , K m ≡1

Anzahl der Moden: Die Anzahl der erlaubten k-Werte ist gerade N, also gibt es N optische und N akustische Moden. Die Gesamtzahl 2N der Moden entspricht der Anzahl der Massen in der Kette, denn jede Masse kann in einer Richtung (x- Richtung) um die Gleichgewichtslage schwingen, tr¨agt also einen Freiheitsgrad bei.

2. Phononen:

Die Moden der Kette seien mit λ bezeichnet, also λ ≡ (k,±), (±) steht f¨ur op- tisch/akustisch, mit den entsprechenden Eigenfrequenzen ω_λ. Jeder Mode λ wird nun ein harmonischer Oszillator zugeordnet,

λ : Hλ =~ωλ(a^†_λaλ + 1/2) , Hλ|nλi=~ωλ(nλ+ 1/2)|nλi , nλ = 0,1,2,3, . . . Dann lautet die kanonische Zustandssumme der unterscheidbaren Oszillatoren:

Z =X

α

e^−βEα =Y

λ

X∞ nλ=0

e^{−β~ωλ(nλ+1/2)}

!

=Y

λ

e^−β~ωλ12 1−e^−β~ωλ

!

Innere Energie:

U = −1 Z

∂Z

∂β =− ∂

∂β ln(Z) =− ∂

∂β X

λ

−β~ω_λ

2 −ln 1−e^−β~ωλ

= X

λ

~ωλ

1

2+g(~ωλ)

(a) Hochtemperaturlimes kBT ≫~ωλ ⇒ e^β~ωλ ≈1 +β~ωλ:

U =X

λ

~ωλ

1

2+kBT

~ωλ

=X

λ

kBT 1 + 1

2

~ωλ

kBT

= 2NkBT

1 +O ~ωλ

kBT

| {z }

≪1

In f¨uhrender Ordnung ist dies genau der Gleichverteilungssatz, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad, der quadratisch in der Lagrange-Funktion auftritt mit 1/2Nk_BT zur inneren Energie beitr¨agt (2N Atome oder Moden, die jeweils in der kinetischen und potentiellen Energie quadratisch auftreten).

Die spezifische W¨arme erh¨alt man durch Ableiten nach T und wir finden CV = 2Nk_B. Im allgemeinen lautet das Dulong-Petit’sche Gesetz

CV =dNrkB

mit der Raumdimension d, der Anzahl der Einheitszellen N und der Anzahl der Atome pro Einheitszelle r.

(b) Annahme: ωλ =ωakustisch=ck.

Die Grundzustandsenergie ist U₀ =P

λ

~ωλ

2 . Es gilt dann also

U −U0 = X

k

~ck e^β~ck−1

= V

2π Z ^π_a

−^π_a

dk ~ck e^β~ck−1

= 2Na

2π

(kBT)²

~c

Z _{akB T}^π~c

0

dx x e^x−1

kBT≪~c^π_a

→ 2Na 2π

(kBT)²

~c

Z ∞ 0

dx x e^x−1

= Naπ

6

(kBT)²

~c

Die spezifische W¨arme ergibt sich dann zu CV = ∂U

∂T = Naπk_B² 3~c T .

Man kann leicht zeigen (in einer analogen Rechnung), dass im Allgeimenen gilt CV ∝T^d ,

was dann f¨urd= 3 das bekannte T³–Gesetz ergibt.

(c) Man erh¨alt mit den Annahmen vom ¨Ubungsblatt die innere Energie U =U0+ 2N ~ω₀

e^β~ω0 −1 und daraus sofort die spezifische W¨arme

CV = ∂U

∂T = 2NkB

(~ω₀)² (kBT)²

e^β~ω0

e^β~ω0−12 = 2NkB

Θ_E T

2

e^ΘE/T e^ΘE/T −12

mit der charakteristischen Einstein-Temperatur kBΘE =~ω0 .

Hochtemperaturlimes T ≫Θe ( exp (ΘE/T)≈1 + ΘE/T ):

⇒ U −U0 = 2NkBT und CV = 2NkB . Tieftemperaturlimes T ≪Θe ( exp (ΘE/T)≫1 ):

U −U0 ≈2N ~ω0

e^β~ω0 = 2N~ω0e^−ΘE/T

CV ≈2NkB

ΘE

T 2

e^ΘE/T

e^ΘE/T2 = 2NkB

ΘE

T 2

e^−ΘE/T

Sowohl U als auch CV verschwinden sind also exponentiell unterdr¨uckt im Limes T →0. Dies ist charkateristisch f¨ur ein System mit Energiel¨ucke im Anregungsspek- trum, wie Sie in Aufgabe 1 f¨ur optische Phononen bereits herausgefunden hatten.

Mit anderen Worten: Da Sie mit der Annahme ω(k) = const. (motiviert durch ihr Ergebnis f¨ur kleine k aus Aufgabe 1) begonnen haben, konnten Sie nichts anderes als einen exponentiellen Abfall in der T–Abh¨angigkeit finden.

(d) Wir setzen voraus, dass der K¨orper isotrop ist. Bekanntlich ist in einem isotropen Festk¨orper die Ausbreitung longitudinaler Schallwellen (mit der Geschwindigkeit ul) und transversaler Wellen mit zwei unabh¨angigen Polarizationen (und gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit u_t) m¨oglich.

Die Zahl der Eigenschwingungen im Spektrum der Schallwellen mit dem Betrag des Wellenvektors im Intervaldk und mit gegebener Polarization ist

V 4πk²dk (2π~)³ ,

wobeiV das Volumen des K¨orpers ist. Im Intervaldω gibt es insgesamt die folgende Zahl von Schwingungen:

V ω²dω 2π²~³

1 u³_l + 2

u³_t

→V 3ω²dω 2π²~³u¯³,

dabei muss man unter ¯u = ¯u(V /N) die auf eine bestimmte Weise gemittelte Aus- breitungsgeschwindigkeit des Schalls im Kristall verstehen.

Jetzt die Gesamtzahl der Schwingungen:

3V 2π²~³u¯³

ω^D

Z

0

ω²dω = 3Nν.

Dann findet man f¨ur die Debye-Frequenz:

ωD = ¯u

6π²~³Nν V

1/3

.

Die Verteilung der Frequenzen wird im Debye-Modell durch die Formel 9Nνω²dω

ω_D³ , ω6ωD. Die freie Energie:

F =F0 +kBT X

λ

ln 1−e^−β~ωλ

=F0+kBT9Nν ω_D³

ωD

Z

0

ω²dωln 1−e^−β~ω .

Integriert man partiell und f¨uhrt die Debye-Funktion ein:

D(x) = 3 x³

Zx

0

z³dz e^z−1,

so kann man die freie Energie in der folgenden Form schreiben:

F =F0+NνkBT

3 ln 1−e^−β~ωD

−D(β~ωD) .

F¨ur die Energie erhalten wir;

U =F −T∂F

∂T =U0+ 3NνkBT D(β~ωD), und f¨ur die W¨armekapazit¨at

C_V = 3Nνk_B[D(β~ω_D)−β~ω_DD^′(β~ω_D)]. Bei hohen Temperaturen

D(β~ω_D ≪1)≈1 ⇒ C_V = 3Nνk_B.

(e) Alles l¨auft genauso wie in Aufgabenteil (b). Allerdings erhalten wir eine Integration

¨uber alle drei k-Richtungen anstelle von einer:

U −U₀ = V (2π)³

X

s

Z

k∈1.BZ

d³k ~c|k|

e^β~ck −1 = V (2π)³

X

s

(kBT)⁴ (~c)³

Z ∞ 0

d³x x e^x−1

= V

(2π)³3(kBT)⁴ (~c)³ 4π

Z ∞ 0

dx x³ e^x−1

= V

(2π)³3(kBT)⁴ (~c)³ 4ππ⁴

15 = π² 10

V

(~c)³ (kBT)⁴

Da wir jetzt ind= 3 sind, istλ= (k, s,±), das heisst wir haben in drei Dimensionen drei akustische Phononenzweige etc. Diese Summe ¨ubers ergibt dann aber einfach nur einen Faktor 3, da wir Isotropie des k-Raums annehmen d¨urfen. Damit finden wir schließlich f¨ur die spezifische W¨arme

CV = 2

5V π²kB

k_BT

~c 3

∝ T³ .

Oder findet man von (d):

D(β~ωD ≫1)≈ π⁴

5(β~ω_D)³ ⇒ CV = 12

5 Nνπ⁴kB

kBT

~ω_D 3

.