max k=1,...,m m k 1 √n 2−1 max j=1,...,n j s|an−j| n j !!k , die die Koeffizienten eines normierten Faktors vom Grad m von a(x) betragsweise ein- schr¨anken und w¨ahle daraus das Maximum

Prof.Dr. W.Koepf

Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨

Ubungsblatt 02¨ COMPUTERALGEBRA II 04.11.2010

Aufgabe 1: (Faktorisierung in Z[x])

DerBerlekamp-Zassenhaus-Algorithmus (ohne Hensel-Lifting) zur Faktorisierung eines normierten, quadratfreien Polynoms a(x) =Pn

k=0akx^k ∈Z[x] funktioniert folgendermaßen:

(a) Bestimme f¨ur m= 1,2, . . . ,bⁿ₂c die Zassenhausschranken

Z_m := max

k=1,...,m

m k

1

√n

2−1 max

j=1,...,n

j

s|a_n−j|

n j

!!k

,

die die Koeffizienten eines normierten Faktors vom Grad m von a(x) betragsweise ein- schr¨anken und w¨ahle daraus das Maximum. Wir nennen es in der Folge Z.

(b) W¨ahle nun einp ∈P so, dassp gr¨oßer ist alsd2Ze.

(c) Faktorisiere a(x) ¨uber Z^p mit dem Berlekamp-Algorithmus und w¨ahle f¨ur die Koeffizienten Vertreter aus dem Intervall (−^p₂,^p₂].

(d) F¨uhre nun Probedivisionen bzgl. der obigen Faktoren durch und ermittle so alle Faktoren der Faktorisierung von a(x) ¨uberZ.

F¨uhre den Berlekamp-Zassenhaus-Algorithmus bzgl. des Polynoms

a(x) =x⁶−9x⁵+ 22x⁴−64x³+ 75x²−143x + 70

durch. Verwende dabei im Schritt (c) des Algorithmus die in Mathematica eingebaute Funktion Factormit dem zus¨atzlichen ArgumentModulus. (8 Punkte)

Aufgabe 2: (Swinnerton-Dyer-Polynome) Seien

SD_n(x) :=Y x ±√

2±√ 3±√

5±. . .±√ p_n

,

wobei p_n dien-te Primzahl bezeichne und sich das Produkt ¨uber alle 2ⁿ m¨oglichen Kombinationen von Plus- und Minuszeichen erstreckt, die so genannten Swinnerton-Dyer-Polynome¹.

Man kann zeigen, dass

(a) der Grad von SDn(x) genau 2ⁿ betr¨agt.

(b) SDn(x) in Z[x] liegt.

(c) SD_n(x) irreduzibel ¨uber Zist.

(d) SD_n(x), aufgefasst als Polynom inZ^p[x], f¨ur jedesp∈Pin mindestens 2ⁿ⁻¹Faktoren zerf¨allt.

Programmieren Sie die Berechnung der Swinnerton-Dyer-Polynome und berechnen Sie SDn(x) f¨ur n = 2,3,4. Testen Sie die obigen Aussagen (a)-(d) an den drei Beispielpolynomen (bei (d) w¨ahle

man sich zum Testen vier Primzahlenp aus). (8 Punkte)

1Die Swinnerton-Dyer-Polynome stellen die

”schlimmsten“ Eingabepolynome des Berlekamp-Zassenhaus-Algorithmus zur Faktorisierung ¨uberZdar, da sie viele Faktoren ¨uberZp besitzen (siehe (d)), aber ¨uberZirreduzibel sind (siehe (c)).

Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 11.11.2010, 08.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de.