bj− j−1 X k=1 aj,kx(m)k − n X k=j+1 aj,kx(m−1)k # (c) SOR-Verfahren derm-te Iterationsschritt in Komponentenschreibweise f¨urj = 1

Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Hans Irl 13.01.2012

Numerik — Blatt 10 Abgabe: Freitag, den 20. Januar, vor der Vorlesung

Aufgabe 1: Iterationsvorschriften f¨ur Splittingverfahren 8 Punkte Zeigen Sie, dass f¨ur das

(a) Jacobi-Verfahren derm-te Iterationsschritt in Komponentenschreibwei- se f¨ur j = 1, ..., n) wie folgt lautet

x^(m)_j = 1 a_j,j

"

b_j −

n

X

k6=j

a_j,kx^(m−1)_k

#

(b) Gauß-Seidel-Verfahren derm-te Iterationsschritt in Komponentenschreib- weise f¨urj = 1, ..., n) wie folgt lautet

x^(m)_j = 1 a_j,j

"

b_j−

j−1

X

k=1

a_j,kx^(m)_k −

n

X

k=j+1

a_j,kx^(m−1)_k

#

(c) SOR-Verfahren derm-te Iterationsschritt in Komponentenschreibweise f¨urj = 1, ..., n) wie folgt lautet

x^(m)_j = (1−ω)x^(m−1)_k + ω a_j,j

"

bj −

j−1

X

k=1

aj,kx^(m)_k −

n

X

k=j+1

aj,kx^(m−1)_k

#

Aufgabe 2: Splittingverfahren mit Excel 1+2+2+2 Punkte In der Excel-Datei

”Splitting“ wurden mit den in Aufgabe 1 bewiesenen Iterationsvorschriften das Jacobi-, das Gauß-Seidel- und das SOR-Verfahren implementiert. F¨ur die in der Datei auftretende MatrixAwurde der optimale Relaxationsfaktorω = 1,1 auf eine Stelle hinter dem Komma durch

”Auspro- bieren“ bestimmt. Vergleichen Sie die Konvergenzgeschwindigkeiten der drei Verfahren f¨ur die Matrizen A, B, C, D und bestimmen Sie auch f¨ur B, C, D den optimalen Relaxationsfaktorω durch Ausprobieren. Die Matrizen finden Sie in der Datei unter dem SOR-Verfahren.

Aufgabe 3: Gradientenverfahren 4 Punkte

Gegeben ist das nichtlineare Funktional g :R² →R mit

g(x, y) := 1

x²+y²+ 3 +x²+ 2y².

F¨uhren Sie ausgehend von x₀ = (1,1)^t f¨unfzehn Schritte mit dem Gradien- tenverfahren zur Bestimmung des globalen Minimums von g aus. Sie k¨onnen das Verfahren nat¨urlich in Excel implementieren.