X n=0 1 n! (ii) Obere Absch¨atzung f¨ur die Folge: F¨urn≥k ≥0 gilt n k 1 nk = 1 k! n n n−1 n

Eulersche Zahl Die Eulersche Zahl

e = 2.71828182845905. . .

l¨asst sich als Grenzwert einer Folge und einer Reihe darstellen:

n→∞lim

1 +1 n

n

= e =

∞

X

n=0

1 n!.

1 / 4

Beweis

(i) Konvergenz der Reihe:

1

n! = 1

1·2·3· · ·n ≤ 1 1 1 2 1 2· · ·1

2 = 2¹⁻ⁿ

=⇒ Majorisierung durch eine geometrische Reihe

=⇒ Existenz des Grenzwerts e =

∞

X

n=0

1 n!

(ii) Obere Absch¨atzung f¨ur die Folge:

F¨urn≥k ≥0 gilt n k

1 n^k = 1

k!

n n

n−1

n · · ·n−k+ 1

n ≤ 1

k! binomische Formel =⇒

a_n=

1 +1 n

n

=

n

X

k=0

n k

1 n^k ≤

n

X

k=0

1 k! ≤e

2 / 4

Grenzwertbildung lim sup_n→∞a_n≤e (iii) Untere Absch¨atzung f¨ur die Folge:

F¨urn>N mitN beliebig aber fest gew¨ahlt gilt

a_n=

n

X

k=0

n k

1 n^k ≥

N

X

k=0

1 k!

n n

n−1

n · · ·n−k+ 1

n ≥

N

X

k=0

1 k!

n−N n

N

Grenzwertbildung

lim inf

n→∞ an≥lim inf

n→∞

N

X

k=0

1 k!

1−N

n N

=

N

X

k=0

1 k!

N → ∞: rechte Seite→e, d.h. lim infn→∞a_n≥e (iv) Kombination der Absch¨atzungen:

bereits gezeigt

liman≥e, e≥liman

3 / 4

Wegen liman≤liman folgt

lima_n= lima_n und damit a_n→e.

4 / 4