Prof. Dr. W. Koepf 09. November 2005 Dipl.-Math. T. Sprenger
Ubungen zur Vorlesung¨
COMPUTERALGEBRA UND ORTHOGONALE POLYNOME Ubungsblatt 2¨
Aufgabe 1:Zeigen Sie (ohne Verwendung vonSimplify,FullSimplifyoderFunctionExpand), dass folgende Terme hypergeometrisch in ksind.
(a) 1 2k
n k
(n)kk! (b)
n+ 1 k
−
n−1 k
Aufgabe 2: Leiten Sie unter Verwendung der hypergeometrischen Datenbank folgende Identit¨aten her.
(a)ex1F1 a
b
−x
=1F1
b−a b
x
(b) (1−x)a+b−c2F1 a, b
c x
=2F1
c−a, c−b c
x
Aufgabe 3: SeiF(n, k) ein hypergeometrischer Term undS(n) =P∞
k=−∞F(n, k).
Gegeben sei folgender Algorithmus:
• Mache den Ansatz
X
(i,j)∈M
ai,j(n)F(n+i, k+j) = 0
mitai,j(n)∈Q(n) und einer geeigneten endlichen Menge M ⊆Z2 (m¨oglichst klein).
• Teile die Gleichung durchF(n, k) und vereinfache die auftretenden Quotienten.
• Multipliziere mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nennerpolynome.
• Betrachte die linke Seite der Gleichung als Polynom ink und l¨ose das lineare Gleichungssystem
¨uber den K¨orper der rationalen Funktionen inn, welches durch Koeffizientenvergleich entsteht.
• Setze eine nicht-triviale L¨osung (sofern vorhanden) in den Ansatz ein, multipliziere mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nennerpolynome und summiere beide Seiten der Gleichung bzgl.
k=−∞. . .∞.
• Falls die entstandene Rekursionsgleichung f¨urS(n) eine Rekursion erster Ordnung darstellt, l¨ose die Rekursion und bestimme somit eine geschlossene Form f¨urS(n). Andernfalls gebe die Rekur- sionsgleichung f¨urS(n) aus.
Schreiben Sie eine Prozedur, die als Eingabe den hypergeometrischen TermF(n, k),nundk(und evtl.
M) erh¨alt und die versucht, eine Rekursion bzw. geschlossene Form f¨ur S(n) zu bestimmen. Testen Sie Ihre Prozedur an den Summen
(a)
n
X
k=0
n k
2
(b)
bn/2c
X
k=0
n−k k
.
Erl¨autern Sie zudem, welche Voraussetzungen der hypergeometrische Term F(n, k) erf¨ullen muss, damit obiger Algorithmus angewendet werden kann.
Abgabetermin bis: Freitag, 18. November 2005, 13.15 Uhr an: sprenger@mathematik.uni-kassel.de
