Theorie F (SS2004) Musterlosung Ubungsblatt 10 29.06.04
1 a)
Einsetzen von
l
=(m+
l
)in den Wehselwirkungsterm,
i
j
=(m+
i
)(m+
j )=m
2
+(
i
+
j
)m+
i
j
| {z }
vernahlassigen
=(
i +
j
)m m 2
damit
E = J
2
m 2
N
X
i=1 X
j=(n:N:i) 1
| {z }
=N z
+m N
X
i=1 X
j=(n:N:i) (
i +
j )
| {z }
=2N mz
h N
X
i=1
i
| {z }
=N m
) E(m;N) = N
J
2 zm
2
+hm
Bemerkung: Der Witz dieser Naherung ist naturlih, da jetzt der Wehselwirkungsterm keine
Wehelwirkung mehr ist,sondern einemeektiven Magnetfeldentspriht.Manersetzt amPlatz i
den Einu der umliegenden Spins durh ein mittleres Feld(Molekularfeld), da konstant (d.h.,
von der genauen Konguration der Spins im hier fest gewahlten Mikrozustand unabhangig) ist.
Dem entspriht, Fluktuationender Spinkonguration zu vernahlassigen. Die Mittelung
l
! m
ist hier eine Mittelung
uberalleSpins in einer gegebenen Spinkonguration. In der mikrokanoni-
shen Gesamtheit, diehier betrahtet wird, entspriht dies einer Mittelunguber ein statistishes
Ensemble, in dem alle moglihen Spinkongurationen (Mikrozustande) zu festem E;m;N mit
gleiher Haugkeit auftreten.Ende Bemerkung.
b)
Furfest gewahlte E;m;N, das heit inder mikrokanonishen Gesamtheit, istdie Entropie
S(E;m;N)=kln(E;m;N) ; (E;m;N)=Anzahl der Mikrozustande mitE, m, N
E istdurhm;N gegeben.MansolltejetztN
+
=(dieAnzahlderSpinsmit=+1)undN =(die
Anzahl der Spins mit = 1) einfuhren, dann ist (m;N) =(die Anzahl der Moglihkeiten, die
N
+
Spins mit =+1 aufden N Gitterplatzen zu verteilen); also:
m= M
N
; M =(N
+
N ) ; N =(N
+
+N )
(m;N)= N
N
+
!
= N
N
!
= N!
N
+
!N !
; ln() 'Nln(N) N
+ ln(N
+
) N ln(N )
Mit
N
+
= 1
2
(N +M)=N 1+m
2
! ln(N
+
)=ln(N)+ln
1+m
2
N =
1
2
(N M)=N 1 m
2
! ln(N )=ln(N)+ln
1 m
2
S(m;N)= Nk
1+m
2 ln
1+m
2 +
1 m
2 ln
1 m
2
Test: Mit 1m1 istS 0. Einreiner Zustand ergibt sih furN
+
=N oder N =N, also
M =N bzw. m=1. Wie verlangt, istdann S(m=1;N)=0.
)
Im theromodynamishen Limes N ! 1 sind ja die mikrokanonishe und die kanonishe
Gesamtheit aquivalent,und wir konnendie freieEnergie einfahhinshreiben:
F(T;m;N)=E(m;N) T S(m;N)
Furgegebene T;h;N wird sih nun imGleihgewiht einm einstellen, da F(m) minimiert,
1
N F
m
=0= 1
N E
m T
S
m
!
= Jzm h+ kT
2 ln
1+m
1 m
Auosen nah m:
1+m
1 m
=exp (2[Jzm+h℄=kT)x ; m= x 1
x+1
; m=tanh([Jzm+h℄=kT)
Phasenubergang: ganz analogSkript S.89:
h=0 : p= Jz
kT m ;
kT
Jz
p=tanh(p) ; T =T
:
kT
Jz
=1 ) kT
=Jz
(Etwas anderes Resultatgegenuber Skript, weilhier J inanderen Einheiten gemessen wird.)
2 a)
In einem Mikrozustand = (
1
;
2
;:::;
N
) kann die Energie bei unendlih langreih-
weitiger Wehselwirkung oenbar geshrieben werden als
E
= N J
2 (m
)
2
Nhm
Das heit, dieMolekularfeldnaherung aus Aufg. 1wird in diesemModellexakt.
Wir konnten jetztgenauso wie in Aufg. 1 weiterrehnen, alsomikrokanonish mit festgewahlten
E;m.Alternativkonnenwir den
Ubergangzur kanonishen Gesamtheit jetztgleihmahen,also
furN 1 setzen: m
!hmi h
1
i und dieEnergie wie folgtausdruken:
E
= J
2 0
N
X
j=1
j 1
A N
X
i=1
i h
N
X
i=1
i
= J
2 m
|{z}
N
X
i=1
i h
N
X
i=1
i
=
~
h N
X
i=1
i
;
~
h=h+ J
2 hmi
Begrundung furm
!hmi:
Habewir imGrundeshon auf Blatt3, Aufg.1 gemaht:
Furein beliebigesModellmit
E
=H (
1
;:::;
N ) h
N
X
i=1
i
gilt
hmi= 1
N h
N
X
i=1
i i=
kT
N 1
Z Z
h
; hm 2
i= (kT)
2
N 2
1
Z
2
Z
h 2
Mit
2
h 2
ln(Z)= 1
Z
2
Z
h 2
1
Z 2
Z
h
!
2
ergibt sih fur das Shwankungsquadrat
h(m) 2
i=hm 2
i hmi 2
= (kT)
2
N 2
2
h 2
ln(Z)
Da dieZustandssumme bzw.freieEnergieextensiv ist,vershwindetdas Shwankungsquadrat fur
N !1:
Z(N)=Z(N)
) ln(Z(N))=ln(Z(N)) ) ln(Z)/N ) h(m) 2
i/ 1
N
!0
b)
Mit dem E
von a)hat man es nur noh mitN unabhangigen Spins zu tun, also:
Z = X
e
E
=(Z
1 )
N
; Z
1
=e
~
h
+e
~
h
=2osh(
~
h=kT)
und
hmi=kT 1
N 1
Z Z
h
=kT 1
Z
1 Z
1
h
=tanh(
~
h=kT)=tanh([
J
2
hmi+h℄=kT)
Furh=0 ergibtsiheinPhasenubergang bei der Temperatur 2kT =J =1, also kT =J=2 .
