Wir betrahten ein ideales Gas mit N identishen Teilhen in einem Behalter. Die Teilhen
wehselwirken niht miteinander. Die moglihen Energien E
n
(n 2 N
0
; E
n+1
> E
n
) fur ein
Teilhenseiendiskretundnihtentartet. DiezugehorigenEinteilhenzustandenennenwirjni.
a) Was sind die moglihen Energieeigenzustande und -werte fur das gesamte N-Teilhen-
System, ausgedrukt durh dieentsprehenden Einteilhenzustandeund-energien? Un-
tersheidenSie jeweilszwishenBosonen undFermionen. 2Punkte
b) Was sindder Grundzustand und die Grundzustandsenergie? Untersheiden Sie jeweils
zwishenBosonenundFermionen. 2Punkte
Aufgabe K2: Spinmessung
ZweiuntersheidbareSpin-1/2-Teilhenbendensihim Spin-Singlett-Zustand
jSi= 1
p
2
( jz+ijz i jz ijz+i)
(d.h.ihrGesamtdrehimpulsist null;wirbetrahtenkeineOrtswellenfunktionen).Hierbeisind
jz+i,jz iEigenzustandedesSpinoperators inz-Rihtung zudenEigenwerten+~=2, ~=2.
a) ~asei einEinheitsvektorinderxz-Ebene,
~a=
sin
0
os
!
:
DieEigenzustandedesSpinoperatorsinRihtung~azudenEigenwerten+~=2bzw. ~=2
lauten(diesbrauhenSieniht zu zeigen):
ja+i= os
2
jz+i + sin
2 jz i;
ja i= sin
2
jz+i + os
2 jz i:
Zeigen Sie,da derobenangegebeneZustandjSiauh sogeshriebenwerdenkann: 1Punkt
jSi= 1
p
2
ja+ija i ja ija+i
:
b) Unser System aus zwei untersheidbaren Teilhen bende sih im oben angegebenen
Spin-Singlett-ZustandjSi.WirfuhreneineMessungdesSpinsvonTeilhen1inRihtung
~adurh,wobei~awieinTeilaufgabea)deniertist.MitwelherWahrsheinlihkeitliefert
dieMessungdenWert+~=2?WasistderZustandnahderMessung,fallsderWert+~=2
furTeilhen1gemessenwurde? 2Punkte
) Wirnehmenan,dieMessungausTeilaufgabeb) habedasErgebnis +~=2geliefert. Un-
mittelbaranshlieend messen wirdenSpinvon Teilhen2inRihtung
~
b,wobei
~
b=
sin
0
os
!
:
Mitwelher Wahrsheinlihkeit erhaltman denMewert +~=2?
In welhem Zustand bendet sih das System nah der Messung, falls der Wert +~=2
furTeilhen2gemessenwurde? 2Punkte
Hinweis:sin(xy)=sinxosy osx siny, os(xy)=osx osy sinx siny.
a) Gegeben seiendiefolgenden Dira-Matrizen (hiraleDarstellung):
0
=
0 1
1 0
;
k
=
0
k
k
0
;
wobei k
die Paulimatrizensind:
1
=
0 1
1 0
;
2
=
0 i
i 0
;
3
=
1 0
0 1
:
BerehnenSie explizitdieMatrix
5 i
0
1
2
3
sowiedieMatrizen 1Punkt
P
L
= 1
2
(1
5
); P
R
= 1
2 (1+
5 ):
b) BerehnenSie mitdenMatrizenausder vorigenTeilaufgabe folgendeProdukte:
P 2
L
; P
2
R
; P
L P
R
; P
R P
L
unddruken Sie IhreErgebnissewiederdurh P
L ,P
R
aus. 1Punkt
Hinweis:Sollten SiedievorigeTeilaufgabe nihtgelost haben,konnen Sieauhmitden
(Anti-)Vertaushungsregelnder-Matrizen arbeiten.
) Der links- bzw. rehtshandige Anteil (sog. Weyl-Spinoren) eines Dira-Spinors ist
deniert durh
L
=P
L
;
R
=P
R :
(x)seieineLosungderfreienDiragleihung.ZeigenSie,da
L
(x)und
R
(x)ebenfalls
Losungen derDiragleihung sind,fallsdie Masse mvershwindet. 1Punkt
Hinweis:Zeigen Siezunahst: P
L
=
P
R .
d) Die innitesimaleLorentztransformationeinesDiraspinors lautet
Æ (x)=!
(x);
wobei!
= !
dieinnitesimalenTransformationsparametersindund
:=
1
8 [
;
℄:
Die LorentztransformationeineslinkshandigenWeylspinors denierenwir analog,
Æ
L
=!
L :
ZeigenSie,dadieseDenitionmitderLorentztransformationvon vertraglihist,da
fur
L
=P
L
also gilt: 2Punkte
Æ
L
=P
L Æ :
e) Ist die Darstellung der Lorentzalgebra im Raum der Diraspinoren irreduzibel? Be-
grundenSieIhreAntwort kurz. 1Punkt
Hinweis:Eine Darstellungauf einemRaum V heit irreduzibel,wennes auerf0g und
demganzen RaumV keine invariantenUnterraume gibt.
EineindimensionalerharmonisherOszillatorbendesihimGrundzustandj0i.ZurZeitt=0
wirdeine konstanteKraftF angelegt. DerHamiltonoperatorlautetalso
H(t)=H
0 +H
1 (t);
H
0
=~!
a y
a+ 1
2
;
H
1 (t)=
0 (t<0)
Fx (t0) :
Hierbei sinda y
,adie Auf-undAbsteigeoperatoren,deniert durh
x= r
~
2m!
(a+a y
); p= i p
m~!=2(a a y
):
Die normierten Energieeigenzustandebezeihnenwirmitjni, esgiltH
0
jni=~!(n+ 1
2 )jni.
FurdieAuf-undAbsteigeoperatoren geltendieBeziehungen:
[a;a y
℄=1; ajni= p
njn 1i; a y
jni= p
n+1jn+1i:
a) DerOszillatorsollsihzurZeitt=0imGrundzustandbenden.BerehnenSieinerster
Ordnung zeitabhangiger Storungstheorie die Wahrsheinlihkeit dafur, das System zur
Zeit t>0 im angeregtenZustandjni(n1) zu nden. 3Punkte
b) WieinTeilaufgabe a) sollsihder OszillatorzurZeit t=0 imGrundzustand benden.
Zeigen Sie,da in der zweitenOrdnung Storungstheorie ein
Ubergang in denZustand
j2i moglihist,nihtaberinZustandejni mitn=1 oder n>2. 2Punkte
Hinweis:ImWehselwirkungsbilderfulltderZeitentwiklungsoperatorU (I)
(t;t
0
) dieIntegral-
gleihung
U (I)
(t;t
0 )=1
i
~ Z
t
t
0 dt
0
H (I)
1 (t
0
) U (I)
(t 0
;t
0 ):
Dabei ist H (I)
1
(t)der Storterm im Wehselwirkungsbild,
H (I)
1
(t)=e iH
0 t=~
H
1 (t)e
iH
0 t=~
:
Die iterative Losung der Integralgleihung fuhrt auf die Storungsreihe. Im Shrodingerbild
lautetder ZeitentwiklungsoperatorU (S)
(t;t
0 ) so:
U (S)
(t;t
0 )=e
iH0t=~
U (I)
(t;t
0 )e
iH0t0=~
:
Esempehltsih,t
0
=0zu setzen.
