Aufgabe 1: Das Chirale Spinorsuperfeld W α und Super-Maxwell In der Vorlesung hatten wir das chirale Superfeld W α (x, θ, θ) eingef¨ ¯ uhrt, wel- ches aus einem reelen, skalaren Superfeld V (x, θ, θ) wie folgt gewonnen wird: ¯

Einf¨ uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 7, Besprechung 21.6.06 ¨

Aufgabe 1: Das Chirale Spinorsuperfeld W _α und Super-Maxwell In der Vorlesung hatten wir das chirale Superfeld W _α (x, θ, θ) eingef¨ ¯ uhrt, wel- ches aus einem reelen, skalaren Superfeld V (x, θ, θ) wie folgt gewonnen wird: ¯

W _α = 1 4

D ¯ D D ¯ _α V

und uns auf die Superfeldformulierung der super Maxwelltheorie f¨ uhrt. Wir wollen nun W _α bestimmen.

Da W _α invariant unter Supereichtransformationen V → V +φ+φ ^† ist, k¨ onnen wir V in Wess-Zumino-Eichung bringen, d.h.

V _{W Z} (x, θ, θ) = ¯ θσ ^µ σ v ¯ _µ (x) + θθ θ ¯ ¯ λ(x) + ¯ θ θ θλ(x) + ¯ θθ θ ¯ θ D(x) ¯ . Berechnen Sie nun

W _α (y, θ, θ) = ¯ 1 4

D ¯ D D ¯ _α V _{W Z} (y, θ, θ) =? ¯

in den neuen, einem chiralen Superfeld angepassten, Superraumvariablen aus Aufgabe 2, ¨ Ubungsblatt 5.

Tips:

Bestimmen Sie zun¨ achst V _{W Z} in den neuen Koordinaten (y, θ, θ) und leiten ¯ Sie dann die Form von D _α und ¯ D _{α ˙} in diesen neuen Koordinaten ab.

Insbesondere gilt dann ¯ D _{α ˙} = _∂ ^∂ _{θ ¯}

, so dass ¯ D D ¯ proportional zum Integral R d ² θ ¯ wird.

Im weiteren leiten Sie zuerst D _α V _{W Z} (y, θ, θ) her und isolieren Sie dann alle ¯ θ ¯ θ ¯ Terme, da nur diese die Doppelableitung ¯ D ¨ uberleben.

Das Ergebnis sollte

W α = λ α (y) + 2θ α D(y) + i(σ ^µν θ) α f µν (y) − iθθ

σ ^µ ∂ µ λ(y) ¯

α

lauten, wobei wir σ ^ν σ ¯ ^µ = 2σ ^νµ − η ^µν benutzt haben und einige Identit¨ aten wie ¯ D D ¯ θ ¯ θ ¯ = −4. Weiterhin ist f µν = ∂ µ v ν − ∂ ν v µ die Feldst¨ arke.

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