angew¨ahlt werden, damitθbein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, falls Eθθb=θ f¨ur alle θ∈R.) (ii) Durch welche Wahl der a1

Ubungsaufgaben zur VL EWMS, WS 2018/19¨ Blatt 11, Abgabe: 16.01.2019, 10 Uhr

37. (2 Punkte)

Die Erfolgswahrscheinlichkeitθ ∈[0,1] eines Zufallsexperimentes soll gesch¨atzt werden.

Dazu wird das Experiment n-mal (voneinander unabh¨angig) wiederholt und θ wird durch die relative H¨aufigkeit der Erfolge gesch¨atzt.

Wie groß muss ngew¨ahlt werden, damit das quadratische Risiko des Sch¨atzers f¨ur alle m¨oglichen Werte vonθ nicht gr¨oßer als 0,01 ist?

38. (1+2 Punkte)

Gegeben seien unabh¨angige Beobachtungen X₁, . . . , X_n, wobei X_i ∼ N(θ,1), θ ∈ R. Betrachten Sie Sch¨atzerθbder Formθb=Pn

i=1a_iX_i, wobeia₁, . . . , a_nreelle Zahlen sind.

(i) Wie m¨ussena₁, . . . , a_ngew¨ahlt werden, damitθbein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, falls E_θθb=θ f¨ur alle θ∈R.)

(ii) Durch welche Wahl der a₁, . . . , a_n wird E_θ(bθ−θ)² unter der Voraussetzung der Erwartungstreue minimiert?

Hinweis: Es gilt Pn

i=1a²_i = Pn

i=1(a_i−¯a_n)²+n¯a²_n, wobei ¯a_n= (a₁+· · ·+a_n)/n.

39. (2+1+2 Punkte)

Gegeben seien unabh¨angige BeobachtungenX₁, . . . , X_nmitX_i ∼Uniform([0, θ]),θ >0.

(i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und anschließend die Dichte der Zufallsva- riable Y = max{X₁, . . . , X_n}!

(ii) Wie mussc_n gew¨ahlt werden, damit θb=c_nY ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, fallsE_θθb=θ f¨ur alleθ > 0.)

(iii) Berechnen Sie das quadratische Risiko des erwartungstreuen Sch¨atzers θb=c_nY!