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angew¨ahlt werden, damitθbein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, falls Eθθb=θ f¨ur alle θ∈R gilt.) (ii) Durch welche Wahl dera1

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Academic year: 2022

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Ubungsaufgaben zur VL EWMS, Wintersemester 2020/21¨ Blatt 12, Abgabe: 10.02.2021, 10 Uhr

35. (1+2 Punkte)

Gegeben seien unabh¨angige Zufallsvariable X1, . . . , Xn, wobei Xi ∼ N(θ,1), θ ∈ R. Betrachten Sie Sch¨atzerθbder Formθb=Pn

i=1aiXi, wobeia1, . . . , anreelle Zahlen sind.

(i) Wie m¨ussena1, . . . , angew¨ahlt werden, damitθbein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, falls Eθθb=θ f¨ur alle θ∈R gilt.)

(ii) Durch welche Wahl dera1, . . . , an wird Eθ[(bθ−θ)2] unter der Voraussetzung der Erwartungstreue minimiert?

Hinweis: Es gilt Pn

i=1a2i = Pn

i=1(ai−¯an)2+n¯a2n, wobei ¯an= (a1+· · ·+an)/n.

36. (2+1+2 Punkte)

Gegeben seien unabh¨angige ZufallsvariableX1, . . . , XnmitXi ∼Uniform([0, θ]),θ > 0.

(i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und anschließend die Dichte der Zufallsva- riable Y = max{X1, . . . , Xn}!

(ii) Wie musscn gew¨ahlt werden, damit θb=cnY ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur θ ist? (bθ ist erwartungstreu, fallsEθθb=θ f¨ur alleθ > 0 gilt.)

(iii) Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler Eθ[(bθ −θ)2] des erwartungs- treuen Sch¨atzers θb=cnY!

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