Beweis des Satzes

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Vektorrechnung

Produkte

Die Luft fliesst von aussen gegen das Zentrum des Tiefdruckgebiets über Island. Wegen der Erdrotation beginnt die Luft zu rotieren. Die bewegte Luft nimmt Wolken auf ihrem Weg mit und zeigt uns so die

Bewegung. An jedem Ort dieses Bildes ist die Luft verschieden schnell und fliesst in verschiedene Richtungen. Jedem Ort kann sein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet: Dies ist ein Vektorfeld.

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Vektorrechnung: Produkte Seite 4 www.mathema.ch

Aufgabe 12:

a) Es ist a = 6, a b⋅= −48 2 und ^

( )

^{a, b}^ ^ = 135°. Berechne b . b) Es ist c²

= 16, d²

= 25 und c d⋅ = 15. Berechne ^

( )

^{c, d}^ ^ ^.

Aufgabe 13: Es sei a b c 0+ − =  

und c

= 5. Wie viel ist dann a c b c ⋅ + ⋅ 

?

Beweis des Satzes

Aufgabe 14: Der Satz über den Zwischenwinkel wurde bis jetzt nicht bewiesen. Versuche diesen Beweis zu vervollständigen:

Wir betrachten das nebenstehende ………..

bestehend aus den drei Vektoren a , b

und c . In jedem Dreieck gilt der ………satz:

2 a2 b2 2

c = + − ⋅ ⋅ ⋅a b cos( )γ

mit den Vektoren geschrieben

2 2 2

c =a +... − ⋅ ⋅2 a ...·cos( )γ

  

Es gilt c b a = − . Wir ersetzen also c :

(

b ...−

)

² =a² +...²−2 ...⋅ ... und rechnen die Klammern auf der linken Seite aus:

b2 − ⋅ ⋅ +2 b a ... ...  =

Nun vereinfachen wir soweit wie möglich:

2 b a ...

− ⋅ ⋅ = 

und dividieren durch …………

a b ...⋅ =

!

Das Zeichen ! zeigt an, dass der Beweis hier zu Ende ist. Hast du alles verstanden? Sonst liest du alles noch einmal von Anfang an durch. Was haben wir eigentlich beweisen?

Schreibe in ganz kurzen Worten auf, was die Beweisidee in diesem Beweis ist.

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Übungen zum Skalarprodukt

Aufgabe 15: Ist das Dreieck ABC A(–31), B(4–3), C(06) spitz-, stumpf- oder rechtwinklig?

Aufgabe 16: Gegeben sind die Punkte A(3|4|–2), B(–3|5|8) und C(2|–6|5). Berechne a) die Koordinaten des Punktes P, sodass

7 6 8

AP ^^− ^^

 

 

 =

gilt.

b) die Koordinaten des Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist.

c) die Koordinaten des Mittelpunktes von AB. d) den Zwischenwinkel der Vektoren AB

und AC

bzw. BC

und BA

.

Aufgabe 17: Gegeben sind die Vektoren a =

1 2 z

  

  

 

, b =

2 y 1

−

  

  

 

. Ermittle y und z so, dass a und b ein Quadrat aufspannen. Wie gross ist die Fläche des Quadrates?

Aufgabe 18: Zeige, dass die Punkte A(11|–1|–4), B(6|–4|–3), C(4|0|–1) und D(9|3|–2) in dieser Reihenfolge ein Rechteck bilden.

Aufgabe 19: Zeige, dass die Vektoren a

=

3 2 1

  −

  

 

, b

=

1 3

5

− 

 

− 

 

, c

=

2 1 4

  

  −

 

ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Aufgabe 20: Berechne den Winkel zwischen dem Vektor

3 4 5

a

  

  

 

=

und der xz-Ebene.

Aufgabe 21: Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(4|2|1) und B(8|–2|3). Unter welchem Winkel schneidet sie die xy-Ebene?

Aufgabe 22: Die Gerade g geht durch die Punkte A(0|0) und B(2|4), die Gerade h geht durch die Punkte C(4|5) und D(6|0). Unter welchem Winkel schneiden sich g und h?

Aufgabe 23: Für welchen Wert von u sind

3 2 3

  

 −

  

und

u 6 2

 

 

− 

 

 

senkrecht zueinander?

Aufgabe 24: Der Vektor

7 y z

a ^{ }^{ }_{ }

  

=

steht normal auf den Vektoren

4 3 8

  

  

 

und

5 20 9

− 

 

 

. Berechne y und z.

Aufgabe 25: Gegeben sind die Punkte A(–2|3|–2) und B(–6|–1|1). Für welche Punkte P der x-Achse misst der Winkel ∠APB 90°?

Aufgabe 26: Für welche Punkte P der y-Achse gilt ∠PAB = 45°, wenn A(2|–2|0) und B(0|–1|2)?

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Übungen zum Vektorprodukt

Aufgabe 35: Berechne den Flächeninhalt des von a und b

aufgespannten Parallelogramms:

a)

1 0 3

a ^{ }^{ }_{ }

  

= ,

2 2 3

b ^^− ^^

 

 

=

b)

1 2 0

a ^{ }^{ }_{ }⁻

  

=

,

4 5 8

b ^^− ^^

 

 

=

Aufgabe 36: Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks A(102)B(–240)C(82–1).

Aufgabe 37: Zwei Punkte sind gegeben: A(0|10|4) und B(2|14|8). Für welche Punkte C auf der x-Achse hat das Dreieck ABC die Fläche 18?

Aufgabe 38: Oben hast du die folgende Aufgabe mithilfe des Skalarprodukt gelöst: Der Vektor

7 y z

a ^{ }^{ }_{ }

  

=

steht normal auf den Vektoren

4 3 8

  

  

 

und

5 20 9

− 

 

 

. Berechne y und z. Dazu musstest du ein Gleichungssystem lösen. Löse dieselbe Aufgabe nun mithilfe des Vektorprodukts. Nun musst du keine Gleichungen lösen!

Aufgabe 39: Bestimme einen Vektor x

so, dass er senkrecht zu den Vektoren

2 4 6

u

  

  

 

=

und

1 1 1

v

 −

  

  

= steht, dass er den Betrag 12 besitzt und dass u

, v und x

in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden.

Aufgabe 40: A(6|8|3), B(3|2|1), C(9|0|–2), Die Punkte A, B und C sind die Ecken der Grund- fläche eines geraden dreiseitigen Prismas mit Volumen 343. Die entsprechenden Ecken der Deckfläche seien D, E bzw. F. Bestimme diese Ecken.

Aufgabe 41: ABCD ist die Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit der Höhe h = 9. Berechne die beiden möglichen Spitzen, wenn A(3|5|5), B(1|1|1) und C(5|3|–3) bekannt sind.

Aufgabe 42: Das Dreieck A(220) B(041) C(4–62) ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS.

Der Punkt S liege auf der Geraden g, die senkrecht zur Grundfläche der Pyramide steht und durch den Schwerpunkt des Dreiecks ABC geht. Bestimme S so, dass das Pyramidenvolumen 27 beträgt.

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3. Geometrische Probleme

Häufig helfen bei diesen Aufgaben Skizzen der Situation!

Aufgabe 43: Von einem Würfel kennt man drei Punkte der Grundfläche ABCD: A(3–12), B(7–15) und D(342). Berechne die übrigen Eckpunkte des Würfels, wobei die z-Koordinate der Deckflächenpunkte grösser sein soll als die z-Koordinate der zuge- hörigen Grundflächenpunkte.

Aufgabe 44: Ein Prisma hat als Grundfläche das Dreieck mit den Ecken A(–1–20), B(210) und C(00–2), als Deckfläche das Dreieck mit den Ecken D(–412), E und F. AD, BE und CF bilden die Seitenkanten des Prismas.

a) Berechne die Koordinaten der Ecken E und F.

b) Handelt es sich bei Grund– und Deckfläche um ein spezielles Dreieck?

c) Zeige, dass das Prisma schief ist.

d) Errichte über der Grundfläche ein gerades Prisma mit der Höhe 12.

Aufgabe 45: Eine gerade Pyramide vom Volumen 18 besitze als Grundfläche das Parallelogramm ABCD. Man kennt A(–1–14), B(2–11), C(130).

a) Welche spezielle Form hat die Grundfläche?

b) Berechne die fehlende Ecke D und die Spitze S. Für S gibt es zwei Möglichkeiten.

c) Was für ein Körper entsteht, wenn man die zwei Pyramiden zu einem Körper verbindet?

Aufgabe 46: Die vier Punkte A(–40), B(4– 4), C(41) und D(03) sind Eckpunkte eines Vierecks.

a) Um was für ein Viereck handelt es sich (Drachen, Trapez, Parallelogramm, Rhombus, Rechteck, Quadrat, gleichschenkliges Trapez…)?

b) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks.

Aufgabe 47: A(001), B(030), C(–441) und D(–412) sind die Ecken eines Vierecks.

a) Um was für ein Viereck handelt es sich?

b) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks.

Aufgabe 48: Die folgenden acht Punkte sind Eckpunkte eines Körpers (räumliche Figur).

A(010), B(–140) C(–430) D(–300) E(013) F(–143) G(–433) H(–303) Um was für einen Körper handelt es sich?

Aufgabe 49: Ein Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das Dreieck mit den Ecken A(10–3), B(12–1), C(554). A’(–1–44) und B’(–1–35) sind zwei Punkte der Deckfläche.

a) Berechne den dritten Punkt der Deckfläche.

b) Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs.

Aufgabe 50: Der Punkt (100) ist Ecke eines regulären Oktaeders, dessen Ecken alle auf den Achsen eines räumlichen Koordinatensystems liegen. Berechnen Sie das Volumen der Inkugel des Oktaeders.

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