Hans Walser, [20111111a] Ein Beweis des Satzes von Pythagoras 1 Erinnerung Ein klassischer Beweis des Satzes von Pythagoras basiert auf der Abbildung 1.

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Hans Walser, [20111111a]

Ein Beweis des Satzes von Pythagoras 1 Erinnerung

Ein klassischer Beweis des Satzes von Pythagoras basiert auf der Abbildung 1.

Abb. 1: Klassische Beweisfigur Wir arbeiten mit einem Flächenvergleich:

a+b

( )

² ⁼⁴^ab₂ ⁺^c²

a² +2ab+b² =2ab+c² a² +b² =c² 2 Umlegen der Dreiecke

Nun wenden wir zwei der Dreiecke um (die Rückseite ist grün) und setzen zu einem Rechteck zusammen (Abb. 2).

Abb. 2: Umlegen

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Hans Walser: Ein Beweis des Satzes von Pythagoras 2/2

3 Ähnliche Rechtecke

Wir vermuten, dass das „Loch“ im Innern ein zum Umrissrechteck ähnliches Rechteck ist.

Beweis: Wir zeichnen noch die Diagonalen ein und beschriften gemäß Abbildung 3.

Abb. 3: Bezeichnungen

Die beiden Dreiecke MPR und MQS sind kongruent (gleiche Seiten). Das eine Dreieck ergibt sich aus dem anderen durch eine Drehung um M um den Diagonalenschnittwin- kel PMQ des Umrissrechtecks. Damit ist der Diagonalenschnittwinkel RMS des Loch- rechtecks gleich groß. Rechtecke mit gleichem Diagonalenschnittwinkel sind ähnlich.

4 Beweis des Satzes von Pythagoras

Das Umrissrechteck hat das Seitenverhältnis _c+a^b , das Lochrechteck das Seitenverhält- nis ^ca_b . Aus der Ähnlichkeit der beiden Rechtecke folgt:

c+ab = ^ca_b

b² =

(

c+a

) (

^c^a

)

b² =c² a² a² +b² =c²