1. Beweisen Sie (a) und (b), und entscheiden Sie (c) durch Beweis oder Gegenbeispiel:

Prof. T. Grundhöfer, PD N. Rosehr Sommersemester 2014

Übungen zur Lie-Theorie Blatt 1

1. Beweisen Sie (a) und (b), und entscheiden Sie (c) durch Beweis oder Gegenbeispiel:

(a) Die Gruppe SO

R ist abelsch und isomorph zur Faktorgruppe R / Z .

(b) Jedes Element der Menge O

R \ SO

R ist ähnlich zu der Diagonalmatrix diag(1, −1) (also eine Geradenspiegelung in der Ebene).

(c) Gilt für alle A, B ∈ O

R die Beziehung ABA

∈ {B, B

} ?

2. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Jedes Element der Gruppe SO

R ist eine Drehung mit einer Drehachse um einen Drehwinkel α, d.h. ähnlich zu einer Matrix





cos α − sin α sin α cos α

1



 mit 0 ≤ α < 2π.

Insbesondere ist jedes Element von SO

R mit dem Eigenwert −1 eine Drehung der Ordnung 2.

(b) Je zwei Drehungen in SO

R um den gleichen Drehwinkel sind konjugiert in SO

R . (c) Jedes Element A ∈ SO

R ist ein Produkt von zwei Drehungen der Ordnung 2.

(Wählen Sie die Drehachsen der gesuchten Drehungen senkrecht zur Drehachse von A.

Solche Drehungen der Ordnung 2 sind Geradenspiegelungen im Raum R

.)

3. Bei dieser Aufgabe sei k · k eine beliebige Norm auf dem Vektorraum R

, und k · k

sei die euklidische Norm. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Es gibt eine Konstante c mit kxk ≤ ckxk

für alle x ∈ R

.

(b) Die Abbildung k · k : R

→ R ist stetig bezüglich der euklidischen Norm k · k

. (c) Es gibt positive Konstanten a, b ∈ R mit akxk

≤ kxk ≤ bkxk

für alle x ∈ R

. (d) Offenheit, Stetigkeit oder Konvergenz bezüglich k·k ist äquivalent zum entsprechenden

Begriff bezüglich k · k

.

4. Sei G eine Untergruppe von GL

R und

G

:= {g ∈ G | es gibt einen Weg in G von 1 nach g}

die sogenannte Weg(zusammenhangs)komponente von G. Zeigen Sie:

(a) G

ist ein Normalteiler von G, aber nicht immer offen in G.

(b) Jeder diskrete Normalteiler von G

liegt im Zentrum von G

.

5. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Jedes Element von SL

R \{−1} ist ein Produkt von zwei Elementen von SL

R , welche beide den Eigenwert 1 haben.

(b) Die Gruppen SL

R und SL

C sind wegzusammenhängend.

(Man kann Induktion nach n benutzen.)

(c) Die Wegkomponente von GL

R besteht aus den Matrizen A ∈ GL

R mit det A > 0.

6. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Jedes Element der unitären Gruppe U

C ist diagonalisierbar, und jedes Element von O

R ist komplex diagonalisierbar.

(b) Die Gruppen U

C und SU

C sind wegzusammenhängend.

(c) Die Wegkomponente von O

R ist die Gruppe SO

R .

Die Übungen zur Vorlesung werden von Nils Rosehr geleitet und finden mittwochs statt, zum ersten Mal am 16. April im BSZ S0.102 ab 10.00 Uhr.

Bitte lösen Sie alle Aufgaben. Abgabe Ihrer schriftlichen Lösungen zu den Aufgaben 2 und 5 am Mittwoch, dem 23. April in den Übungen. Maximal zwei Übungsteilnehmer dürfen zusammen ein Lösungsblatt erstellen. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf Ihr Lösungsblatt.

Die Übungsblätter gibt es auch unter http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼rosehr.