Drehachse und Drehwinkel
Jede Drehung Q imR3 besitzt eine Drehachse, d.h. l¨asst einen
Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkelϕ in der zuu orthogonalen Ebene.
Bez¨uglich eines orthonormalen Rechtssystemsu,v,w besitzt Q die Matrixdarstellung
Q˜=
1 0 0
0 cosϕ −sinϕ 0 sinϕ cosϕ
.
Insbesondere gilt f¨ur den Drehwinkel cosϕ= 1
2(SpurQ−1).
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Beweis
Orthogonalit¨at der DrehmatrixQ =⇒
Q−1 =Qt, |det Q|= 1
|λk|= 1 und λ1λ2λ3 = detQ = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ= 1, denn bei geeigneter Numerierung gilt
λ1 =λ2, λ1λ2=|λ1|2 = 1 oder
λk ∈ {−1,1}
Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1
orthonormales Rechtssystem u,v,w Qu = u
Qv = αv+βw Qw = γv+δw
Qv,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonaler Matrizen:
x ⊥u =⇒ Qx ⊥Qu=u Matrixform obiger Gleichungen
Q(u,v,w
| {z }
P
) = (u,v,w)
1 0 0 0 α γ 0 β δ
| {z }
Q˜
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Q˜=P−1QP orthogonal mit det ˜Q = detQ= 1 =⇒ α γ
β δ
=
cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ
Invarianz der Spur unter ¨Ahnlichkeitstransformationen =⇒ SpurQ = Spur ˜Q= 1 + 2 cosϕ
Beispiel
Bestimmung von Drehachse und Drehwinkel f¨ur die Drehmatrix
Q = 1 2
1 −√
2 1
√
2 0 −√
2
1 √
2 1
(i) ¨Uberpr¨ufung der Orthogonalit¨at und der Determinante:
QtQ= 1 4
4 0 0 0 4 0 0 0 4
=E ⇐⇒ Qt=Q−1 und
detQ = 1 8 det
1 −√
2 1
√
2 0 −√
2
1 √
2 1
= +1
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(ii) Drehachse:
Eigenvektoru zum Eigenwert λ= 1 1
2
−1 −√
2 1
√
2 −2 −√
2
1 √
2 −1
| {z }
Q−E
u1 u2
u3
=
0 0 0
=⇒ u =
√2/2
√0 2/2
(iii) Drehwinkel:
cosϕ= 1
2(SpurQ−1) = 1
2(1−1) = 0
=⇒ ϕ=±π/2
(iv) Orientierung:
Das Vorzeichen vonϕ h¨angt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems{u,v,w} bestimmt werden:
wtQv =wt(cosϕv+ sinϕw) = sinϕ w¨ahle als Rechtssystem
u=
√ 2/2
√0 2/2
, u⊥v =
0 1 0
, w =u×v =
−√ 2/2
√0 2/2
Bilden des Produktes wtQv sinϕ= (−√
2/2,0,√ 2/2)
−√ 2/2
√0 2/2
| {z }
Qv
= 1,
d.h. ϕ=π/2
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