Die Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks Die Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks

Die Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks Die Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks

• Das Dreieck ABC sei mit den Koordinaten seiner Eckpunkte A(x_A|y_A), B(x_B|y_B) und C(x_C|y_C) gegeben.

• Der Schwerpunkt S(x_S|y_S) ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

• S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

A B

C

S

M_AB

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

2 y

| y 2

x

M

x

Kann man die Koordinaten des Schwerpunktes aus den Dreieckskoordinaten berechnen ?

Kann man die Koordinaten des Kann man die Koordinaten des

Schwerpunktes aus den Schwerpunktes aus den Dreieckskoordinaten berechnen ? Dreieckskoordinaten berechnen ?

y 2 y

y und y

x 2 x

x 2 x

SM CS

S M

C S

S M

C S

AB AB AB

− =

= −

−

⇒ −

=

x 2 x

x x

S M

C S

AB

− =

−

S M

C

S

x 2 x 2 x

x − =

−

B C

S A

x

2 x 2 x

3x + +

=

3

x x

x

x

+

+

=

Die Koordinaten des Schwerpunktes sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Eckpunkte.

Die Koordinaten des Schwerpunktes Die Koordinaten des Schwerpunktes sind das arithmetische Mittel der sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Eckpunkte.

Koordinaten der Eckpunkte.

Digital unterschrieben von Rüdiger Ober- Blöbaum

Speicherort: Schwedt

Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus den Eckpunktkoo

Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus den Eckpunktkoordinaten rdinaten

A

A

A

A

x_A x_C x_B

y_A y_C

y_B

A A

= A = A

-(A - (A

+A +A

+A +A

) )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

−

−

−

= 2

y y )(

x x ( 2

) y y )(

x x ( 2

) y y )(

x x ) (

y y )(

x x (

A_{D C A C A} ^{C A B A C B C B B A C A}

Durch Gleichnamig-Machen, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Ausklammern ergibt sich

( ^y _B ^y _C ) ^x _B ( ^y _C ^y _A ) ^x _C ( ^y _A ^y _B )

x A 2 D 1

A = ⋅ − + − + −

Übungsaufgaben

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(-3|5), B(1|-3) und C(4|1).

1. Berechne für das Dreieck ABC a) die Seitenlängen,

b) den Flächeninhalt, c) den Schwerpunkt und d) die Koordinaten der

Seitenmittelpunkte.

2. In welchem Verhältnis steht der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu dem Flächeninhalt des Dreiecks, das die

Seitenmittelpunkte des Dreiecks ABC bilden ?

3. Auf der Abszissenachse ist ein Punkt P derart gesucht, dass das Dreieck ABC flächengleich zum Dreieck APC ist.

a) Berechne die Koordinaten von P.

b) Wo liegt der Schwerpunkt des Dreiecks APC.