Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten

Die  Kirche  am  Niendorfer  Markt  (Fragment),  Hamburg

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten

1­E

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

1­E1

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten

1­E2

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:  

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   Aufgaben  5, 6 Aufgaben  5, 6

Ein  Bereich   ist  durch  Funktionen   in  kartesischen Koordinaten  bestimmt.  Berechnen  Sie  den  Bereich im  neuen  (u, v)­Koordinatensystemen

Aufgabe  5:

Aufgabe  6:

Zeigen  Sie,  wie  Sie  den  von  Geraden

eingeschlossenen  Bereich  integrieren  können.  Zunächst in  den  (x, y)­Koordinaten,  dann  in  den  (u, v)­Koordina­

ten

A : x

 y

36 = 1 ; x = u

2 , y = 3 v

y = − x  4, y = x  1, y = x

3 − 4 3

x = 1

2  u  v  , y = 1

2  u − v

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

1­A1

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:  

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   Aufgabe  7 Aufgabe  7

Das  Integral  über   I   dem  trapezförmigen  Bereich  mit den  Eckpunkten (1, 0),  (2, 0),  (0, ­2)  und  (0, ­1)  ist  zu berechnen

I = ∬

A

e

xy

x−y

dx dy

1­A2

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:  

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   Lösung  5 Lösung  5

Abb.  L5­1:  Der  Bereich  A  (Ellipse)  in  den  kartesischen  Koordinaten

A : x

 y

36 = 1

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

1­1a

Abb.  L5­2:  Der  Bereich  A  (Kreis)  in  den  (u, v)­Koordinaten

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:  

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   Lösung  5 Lösung  5

x

 y

36 = 1,  ^u 2 

^{  3} 36 ^{v }

= 1 ⇔ u

4  9 v

36 = 1 ⇒ u

 v

= 4

1­1b

5-2a

A : y = − x  4, y = x  1, y = x

3 − 4 3

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  6 Lösung  6

5-2b

Abb. 4b: Die Darstellung des Bereiches A für die folgende Integration

A = ∬

A

dx dy = ∬

A₁

dx dy  ∬

A₂

dx dy =

= ∫

x=−7/2 3/2

y=x

∫

dx dy  ∫

x=3/2 4

y=x

∫

−x4

dx dy = 12.5  FE

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  6 Lösung  6

5-2c

y = − x  4 : 1

2 u − v  = − 1

2  u  v   4 ⇒ u = 4 y = x  1 : 1

2  u − v  = 1

2 u  v   1 ⇒ v = − 1 y = x

3 − 4

3 : 1

2  u − v  = 1

6  u  v  − 4

3 ⇒ v = u

2  2

x = 1

2  u  v  , y = 1

2  u − v 

D = D  x , y 

D  u , v  = ∣ ^{∂ ∂ ∂ ∂ u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ x v v y} ∣ ⁼ ∣ ^{1 2 1 2 − 1 2 1 2} ∣ ^{= − 1 2}

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  6 Lösung  6

5-2d

A = ∬

A_{u v}

| D | du dv = 1

2 ∫

u=−6 4

du ∫

v=−1 2  u

2

dv = 1

2 ∫

−6

4

 ^u 2  3  ^{du = 12.5  FE }

Abb. 4c: Der Bereich in den (u, v)-Koordinaten

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  6 Lösung  6

Durch geeignete Koordinatentransformation wird die geometrische Struktur

und die Integration vereinfacht.

Abb. 5a: Der trapezförmiger Bereich A mit den Eckpunkten (1, 0), (2, 0), (0, -2) und (0, -1)

5-3a

I = ∬

A

e

xy

x−y

dx dy

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  7 Lösung  7

5-3b

Da es nicht leicht ist, den Integrand zu integrieren, wird eine Koordinatentransformation durchgeführt

u = x  y , v = x − y

Diese Gleichungen definieren eine Transformation von der xy- Ebene in die uv-Ebene.

x = 1

2  u  v  , y = 1

2  u − v  , D = D  x , y 

D  u , v  = − 1 2

y = x − 1 : 1

2  u − v  = 1

2 u  v  − 1 ⇒ v = 1 y = x − 2 : 1

2  u − v  = 1

2  u  v  − 2 ⇒ v = 2 y = 0 : 1

2  u − v  = 0 ⇒ v = u x = 0 : 1

2  u  v  = 0 ⇒ v = − u

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  7 Lösung  7

5-3c

(1, 1), (2, 2), (-2, 2) und (-1, 1). A : 1 ≤ v ≤ 2, - v ≤ u ≤ v

I = ∬

A

e

xy

x−y

dx dy = ∬

A

e

u

v

∣ D ∣ du dv = 1

2 ∫

v=1 2

dv ∫

u=−v v

e

u

v

du =

= 1

2  e − e

 ∫

v=1 2

v dv = 3

4  e − e



Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:   

Transformation  in  vereinfachende  Koordinaten:    Lösung  7 Lösung  7