¨Uber die Reichweite und Genauigkeit der Formeln nach Hristow zur Transformation ellipsoidisch-geographischer Koordinaten

Paper-ID: VGI 197702

Uber die Reichweite und Genauigkeit der Formeln nach Hristow ¨ zur Transformation ellipsoidisch-geographischer Koordinaten

Walter Welsch

¹

1

Lehrstuhl f ¨ur Vermessungskunde der Hochschule der Bundeswehr M ¨unchen, Schwere-Reiter-Straße 35, D-8000 M ¨unchen 40

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen und Photogrammetrie ¨ 65 (1), S.

6–16 1977

BibTEX:

@ARTICLE{Welsch_VGI_197702,

Title = {{\"U}ber die Reichweite und Genauigkeit der Formeln nach Hristow zur Transformation ellipsoidisch-geographischer Koordinaten},

Author = {Welsch, Walter},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen und Photogrammetrie},

Pages = {6--16}, Number = {1}, Year = {1977}, Volume = {65}

}

6

Über die Reichweite und Genauigkeit der Formeln nach Hristow zur Transformation

eilipsoidisch-geographischer Koordinaten Von Walter Welsch, M ü n c h e n

1.

Einführung

Die Lageänderung eines geodätisch e n Netzes wird h ä u fig auf geo m etri­

scher Gru n d lage zweidimensional-translativ d u rc h g e f ü h rt. H i erbei wird das Netz geschlossen d ifferentiell auf der Rechenfläche verschoben u n d ver­

dreht. Oft wird auch eine Maßstabsänderu n g u n d der Übergang von einem Ellipsoid auf ein anderes notwe n d i g . Formelsysteme f ü r d e rartige Datu ms­

transformationen wurden von Helmert

[2],

H ristow

[3],

Ö l a n d e r

[5],

Bod e m ü l­

ler

[1]

u . a. entwickelt.

G rund legend für verm ittelnde Transformatio n e n s i n d H e lmerts Differen­

tialg leichu ngen der geodätischen Linie auf d e m Rotatio nsellipsoid

[2].

H ri­

stow

[3]

entwickelte für sie auf der G ru n d lage d e r Leg e n d reschen Reihen rechentech n isch g ü nstige Potenzrei h e n , die m it h i n re i c h e n d e r Genauigkeit für die Transformation größerer Netze angewen det werden kön nen u n d als translative Lotabweichu ngsg leic h u n g e n u n d z u m Zusam m en s c h luß von Lan­

desnetzen zu einem einheitlichen Block Bedeutu n g gewa n n e n .

Bei neueren Arbeiten besteht das I nteresse, i m R a h m e n von Diag nose­

ausgleich u ngen Landesnetze oder ko ntinentale N etze vo r e i n e r G esamtaus­

gleic h u n g blockweise zu u ntersuchen

[4], [7].

A u c h h ier h a b e n H ristows Formeln d u rch d ie ansc h l ießende Anfelderu n g e i n e g ewisse Bedeutung.

Bei derart g roßräumigen Unters u c h u ngen m uß d i e Frage g estel lt werden, ob es gerechtfertigt ist, auftretende Restklaffungen als E rg e b n is einer Trans­

formation aussch ließlich m it der m e h r oder m i n d e r g uten Qual ität der zusam­

mengesch lossenen Netze zu begrü n d e n . Die Frag e ist d a n n b erechtigt, wen n a u f G ru n d d e r Netzausde h n u ngen e i n e Verfälsc h u n g d e r E rg e b n isse d u rch zu frühen Abbruch der Entwicklu n g e n der Leg e n d resc h e n R e i h e n u n d i h rer Taylorisierung zu befürchten ist. R estg liedabschätz u ng e n zeigen, daß für größere Netzausd e h n u ngen eine E rweiterung d es beste h e n d en Formelsy­

stems notwendig wird , wenn die ausgeglichenen geographischen Koord i n a­

ten u n d aus ihnen abgeleitete Azi m ute m it d e r ü bl i c h e n G e n a u ig keit ausge­

wiesen werden sollen:

cp,

A.: 1

" . 1 0 -4

o:: 1 "·1 0 -2 (s=1 00 km). . . . (1 )

Auf der Grund lage der weitere ntwickelten Leg e n d reschen Reihen

[8]

wurden deshalb d ie H ristowschen Potenzre i h e n soweit vora n g etrieben , daß

ÖZNuPh 65. Jahrgang/1977/Heft 1 7 sie bis z u r

6.

Ord n u n g vollständig, in d e r 7 . O rd n u ng noct1 i n i h re n sphäri­

schen Anteilen vorliegen

[6].

Die abgeleiteten D ifferentialquotienten unter­

scheiden sich in ein igen Fäl le n von den H ristowsch e n Forme l n . Der G r u n d liegt in d e r Vernach lässig u ng ellipsoid ischer Ausd rücke i n d e n G rößen

3.

Ord n u n g der Legendreschen Rei h e n . H ierauf hat a u c h schon Bodem ü ller

[1]

h ingewiese n .

I m folgenden sei ein Überb lick ü ber d i e Reichweite u n d i m Zusa mmen­

hang mit ihr über die erzielbare Transformationsgenau igkeit gegeben .

2. Glieder höherer Ordnung der Taylorentwick/ung

Es ist abzuschätze n , welcher Fehler entsteht, wen n z u r Berec h n u n g der differentiellen Änderu ngen

. . . (2)

des zu transformierenden P u n ktes n ur das vollständige D ifferential der Legendreschen Reihen verwendet wird, d. h. die G lieder 02 und d ie höherer Ord n u ng bei der Taylorentwicklu n g nach den Verä n derlichen

. . . (3)

vernachlässigt werd e n . Die betragsm äßige G röße der G lieder 02 hängt wesentlich von der G röße der I n krem ente

(3)

a b .

Von den in den

2.

Ableitungen auftrete n d e n G rößen n i m m t der Ausd ruck

(

^daa

)2

den größten Betrag a n . M it s = 1 000 km als Entfern u ng des zu transfor­

m ierenden P u n ktes vom Zentralpu n kt der Transfo rmation ergeben sich z. B.

in einer Breite von cp = 70° d ie folgenden Beträge:

1

02 (dcp2)

1

⁼

I

^{02 (dA.2) · coscp}

j

⁼

^{8" ·}

^{1 0 -4,}

1

02 (dcx21 ) · s

j

⁼

^2"

^{· 1 0 -2.}

. . . (4)

Der nächstg rößere Ausdruck m it� _a ^· dot liegt bereits weit u nter d ieser Größenordn u n g .

A l s E rgebnis d e r Abschätz u ng wird festgestel lt, daß b e i m ittleren E ntfer­

n u ngen das vollständige Differential der Lege n d resch e n Reihen n icht g en ügt und die G l ieder 02 der Taylorentwicklu n g n icht vemach lässigt werden d ü rfen, ohne die Genauigkeit (1 ) der Transformation einzusc h rän ken .

3. Polarkoordinaten

I n allen Differentialquotienten d e r Potenzreihen der Transformationsfor­

meln treten Polarkoordinaten in der Form

s

·

sincx, s

·

coscx

. . . (5)

auf. H ristow betrachtet zu i h rer E l i m i n ation d i e Leg e n d resc h e n Reihen als Potenzreihen d ieser beiden G rößen u nd gewi n n t für sie Lös u ngen d u rch Reihenumkehr.

Für Netze mit Radien m ittlerer E ntfern u n g ist d ieser Weg jedoch n icht mehr gangbar, da er z u g roßen Ungenauigkeiten fü h re n w ü rde, wei l der Anwendungsbereich der Legend resch e n Reihen i. a . auf kleine E n tfernungen besch ränkt ist u n d den Bereich der Pole ü berh a u pt n icht mehr erfaßt . A u ch die Gaußschen Mittelbreitenformeln kön n e n für den g edachten Zweck n icht verwendet werden .

Eine zufriedenstel lende Lös u n g erzielt erst d i e Jordansche Lös u n g der

2.

geodätischen Hauptaufgabe m it H ilfe des Polard reiecks.

Abbildung 1 zeigt die Maximalwerte dsmax u nd dcxmax d e r A bweich u ngen der Polarkoordinaten von Sollwerten f ü r Azim u te von

0°

b is

90°

in den Breiten

0°

bis

90°

für s =

1000

km.

ld

_m

sl ldctl

_{ax. max.} ^{I �}

[mm ; r10�411;

Jdcd

max 8

7 6 5 4 3 2 1 0

I � / ""' V /

1/ _/ /

/ ^Jdsl

^max.

""' � V

"'

_--

/

""- _/

�

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° �

�

Abb. 1 Maximale Abweichungen der Polarkoordinaten (s = 1000 km)

ÖZfVuPh 65. Jahrgang/1977 /Heft 1 9 I n Abbildu n g

2

ist schließlich darg estellt, wie g roß d ie Ungenauigkeiten der Transformationsformeln u nter dem E i nfluß vo n Ungenauigkeiten bei der Bestim m u n g der Polarkoord inaten m it H i lfe der Jord anschen Formeln werden kön n e n .

f'

511

611

10 ^-7//

6 !:

911

IOU

d(lü II /

d(l!.o: d(l::.f)

i/ /

/ ^1/

d(t:.f) - ^V V

drt:.A.J

_i--

1.---"

^V

( ^d(t:.a.i

^'

-

0 ° 10° 20° 30° 40° SOG 60° 70° 80° 90 °

.'.f

Abb. 2 Unschärfe der Transformationsformeln unter dem Einfluß der Ungenauigkeit der Polarkoordinaten (s ⁼ 1000 km)

4.

Restgliedabschätzungen

Für die G röße der Differenzialquotienten bzw. für den Verwe n d un gsbe­

reich der aus ih nen gebildeten Potenzreihen g elten folgende allgemeine Gesichts p u n kte:

I nfolge i h rer Abhängigkeit von der geographischen Breite des Bezugs­

punktes der Transformation werden die Reihen i n den Polen als s i n g uläre P u n kte des Koord inatensystems u n brauch bar; d i e Konvergenz n i m mt bei Annäheru n g an die Pole· deutlich ab, die G röße der Reiheng lieder wächst über alle G renzen .

Außer der geographischen Breite des Bezugspu n ktes ist auch noch die Entfernung s des zu transformierenden P u n ktes vom Bezu g s p u n kt m aßge- bend; der in allen G liedern auftretende Faktor

��

bewirkt bei wachsendem s ganz allgemein eine Abnah m e der Konvergenz mit einem G renzwert für s ^_, N .

Zur Untersuch u n g , wie weit d ie R e i h en entwicklungen i m e i n zelnen brauch bar sind, wird jeweils das erste vernach lässigte G lied jeder Reihe als

genähertes Restglied verwendet. Bezeich net Ri das zu m axim ierende Rest­

glied, so g ilt als notwendige Bed i n g u n g für d as Auffi nden eines M aximalwer­

tes,,wen n das Azimut <X bei konstanter Breite u n d gleichbleibender E ntfern u n g s variieren soll:

0.

. . . (6)

Da es sich bei den Restgliedern u m F u n ktio nen höherer O rd n u n g han­

delt, treten natü rlich mehrere Lös u ngen für (relative) Extremwerte auf. Aus ihnen wird dasjenige <X ausgewäh lt, das n ach E i n setzen i n Ri dessen Maximal­

wert erzeugt.

I n den folgenden Abbild ungen

3

u n d

4

werden d iese M aximalwerte der Restglieder

4.

u n d

7.

Ord n u n g (R1v bzw. Rv11) dargeste l lt. Wen n m a n noch d ie Größe der I n kremente

(3)

berücksichtigt, kan n d i e Genauig keit der H ristow­

schen Formeln m it Hilfe von R1v u n d die der weiterentwic kelten Reihen mit Hilfe von Rv11 abgeschätzt werd e n .

5. Beispiel und Anwendungsbereich

Zwei „identische P u n kte", deren Koord i n aten i n beiden Systemen be­

kannt sind, werden vom Bessel- auf d as H ayfo rde l lipsoid übertrag e n . D i e geograph ischen Koord inaten d e r beiden P u n kte s i n d fo lgende:

P u n kt Bessel H ayford

M ünchen - Frauenkirche <p

48° 8'22,5290" 48° 8'22,2273"

}-.

11 34 27, 7335 11 34 26,4862

Schweitenkirchen <p

48 30 26,6625 48 30 26,1736

}-.

11 36 31,5143 11 36 30,2443

Die E l l ipsoiddimensionen werden angeg eben m it:

Parameter Bessel Hayford

Große Halbach se a

6 377 397,155

m

6 378 388,0

m

Abplattung Ol

1 : 299, 1528 1 : 297

ÖZfVuPh 65. Jahrgang/ 1977 I Heft 1 R 12 bei

5=10 0 1000 km 10-2

10-3 10 -4 10-5 10-6 10-7

10-B

10-9

70-5 70-6

70-7

10- 2 10-3 10-4 10-5 70-6 10-7

10-B

-

102 101 100 //

10-1 ^'/

10-2 10-3

10-4

,}.--

10-5

/

103 102 101

10°

�

10-1

'/

70-2

10-3

10-4 ^{- /} 102 101 10°

10-1 10 2 70-3

10-4 ^-

/

�

�3

V,

�

-

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2_

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j

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2 ____,,.

-- V

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J I

-

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II

,1-?"' /

^V

�V

_'

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3 -� -

--... /4 /

,

1

A

/_ /

�

^V

..-;::;.

V /

�

1 = '�� �1

2=1�1

3 = IW· s 1

⁼

1 � � ¹

^a

1

4=l��'fl

'�

1 = la <JT.cos

^,u

^<f 1

2

₌

l��A·COS ^'fl 3=1;!1>. s .s. cos :PI

= l��A ^·a· cos lfl 4 = l��A .cosfJ

�

1 2

3

4

�

= j;�a.sl

=

l��a .sj

= l�!a·szl=l��a .a·sl

= l��a ·sl

0° 10° 20° 30° 40c 50° 60° 70° 80° 90°

�

Abb. 3 Die Größe der R estglieder R1v

11

R _WI

S=

¹⁰ 0- 10-10- 10- 5

6 7

10-⁸

9

10

11

12 5

6 - 7

8

9.

10

11

12 2 3

!,

5

6

7

8

bei 1000 km 102 101 10°

10-1

10-2 -

J-- �

10-J _/

/

1CT4 ₁

/

/

70-5 102 701 10°

10-1

� V-:::

10-2 ^-

V V

^VI,

70-3

V

10-I,

/

10-5 105 104 103 102 101 10°

70-1

_/ / �

^/

/

_,,,,,'

/

k?

^V

�

li f

�/ / V

/

/,

II

'! II

1

/

^'2

/ II

/ ,,

/

II

/. II

/J )'/

1= '�' 2=1�1

3 = 1 �!fsl=I�! ^� CL'

4 = 1 _�� �1 '

1

0 1 = l:�A

^·COS

�1 2 = 1 ^;�A

^·COS

�1 3= j;�A·s·cos�I

I

)

1. I

/

.,1 /

� � V

I I

/

/

/,

1

1 /

²

II /'

r

r

'

= l��;_·a·cosfl 4= l��Acos�I

1 = l:�a

^{· S}

I 2= 1:�a .s,

3 = 1;:a s2H:�a

^·a·S

I 4= 1:�a.sj

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° ,

�

Abb. 4 Die Größe der Restglieder Rv11

ÖZNuPh 65. Jahrgang/1977 /Heft 1

Ein Verg leich der Koord i n aten g ibt sofort:

d <p1 =

-0,40"

d}-.1 =

-1,26�'

13

Die Berec h n u n g der

2.

geodätischen Hau pta u fg abe auf beiden E l lipso­

iden liefert:

da1

2

=

-0,24"

Sf1SB ds

-- =-= +

6 · 10-6.

Ss S

Aus dem Verg leich der Ellipsoidd imensionen erg ibt sich:

af1as da

-- = -=

1,6. 10-4;

dot.=

2,4. 10-5•

a8 a

Diese einem praktischen Beispiel entnom menen R ichtwerte für die G röße der Transformationselemente seien der A bschätzu n g des Anwen d u ng s berei­

ches zugrunde gelegt.

Die Betrachtung der Maximalwerte der Restg lieder Ri (Abb.

3

u n d

4)

zeigt in Verb i n d u n g mit den oben erm ittelten Transformationskonstanten, d aß als kritischer Wert die G röße

i

^30ß

:

^{· a • cosqi · daa}

1

anzu sehen ist, weil sie als erste die geforderten Genau igkeiten

(1)

ü bersch reitet. Da der Wert u m etwa eine Zeh nerpotenz g rößer ist als der nächstfolgende

j

^{aßr.. •} cosqi· dO(.,

j

, kann mit

30L

seiner Hilfe der Anwen d u ngsbereich B111 bis Bv11 entsprechend der

5.

bis

6.

O rd n u n g der Reihenentwicklu ngen abgeschätzt werden .

Abbildung

5

zeigt d ie Verwend u n gsm öglichkeit der Transfdrmationsfor­

meln in versch iedenen E ntwicklu ngsstufe n . Als E rgebnis wird festgestellt, daß bei der Transformation geodätischer Netze i n u nseren B reiten (M itteleuropa), in denen m ittlere Entfernu n gen auftrete n , d ie Reihenentwicklu n g der Differen­

tialquotienten bis zur

6.

Ord n u n g , z u m i n dest aber bis z u r

5.

O rd n u n g , erfor­

derlich ist.

Für geringere Genau igkeitsansprüche, nämlich

1" . 10-3 . . . (7)

<p,

},.:

1" . 10-2 . . . (8)

für B reite und Länge anstelle von

(1

), zeigt Abbild u n g

6

den Anwend u ngsbe�

reich der bis z u r

6.

Ord n u n g entwickelten Transformationsformel n .

s 1500

1000

500

0

r..

[km}

"""

_'

\

�

_\

^{B \1 \} _\

\

\

B \

f-- }'.'.

,_

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B "'

�

!2

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B

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\

1\

\

\

^'

\

I""' \

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' ^"\

"

""

� r-...

-...

ÖZfVuPh 65. Jahrgang/1977 /Heft 1

-

1\

'\. \

"" �

.� �\ _"

� '

^�

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

:J'

Abb. 5 Anwendungsbereich der Transformationsformeln für B111 bis Bv1 bei Genauigkeitsforderungen nach (1)

ÖZfVuPh 65. Jahrgang/1977/Heft 1 15

s II'

[km}

300 0

· .

2000 ... ,

.... ,

'

"

^„

'

I'---.... ^'\ '\

'-....

�

_' I'\

� ^{\ I\}

1000

I"" ^\

^'

""' ^\

' ^„

""" ^\

� ^{� ....}

0

I'\.

^' ,

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

3

Abb. 6 Anwendungsbereich der bis zur 6. Ordnung entwickelten Transformationsformeln bei Genauigkeitsforderungen nach (1)

--

, nach (7) - - - - und (8) · · ·

6. Sehfußbetrachtung

Die Untersuchung der zweid i mensional-translativen Transformationsfor­

meln n ach Hristow zeigt, daß bei der Übertrag u n g g roßräu m iger Netze d ie Genauigkeit der Reihenentwicklu n g d u rchaus eine bedeutsame Rolle spielen kann . Es wird ei n Diagram m vorgestellt, m it dessen Hi lfe abgeschätzt werden kann , bis zu welcher Ord n u n g d ie Potenzreihen entwickelt sein m üssen, u m ein Netz m ittlerer Ausdeh n u ng i n Abhäng igkeit von der geog raph ischen Breite des Zentralpu nktes ohne Genau igkeitsverlust ü bertragen zu kön nen.

Auch die Abschätzu n g , m it welchen Genau igkeitsverlusten bei der Transfor­

mation von Netzen g roßer Ausdeh n u n g gerech net werden m uß, ist m it Hilfe eines Diag ramms möglich.

Die Betrachtungen machen auch deutli c h , daß im S i n ne heutiger G roß­

raumvermessu ngen die G renzen rei n geometrischer Dat u m stra n sfo rmationen klassischer Manier sch nell erreicht sind.

Literatur

[1] Bademüller, H„ Ellipsoidische Abbildungen von Rotationsellipsoiden mit Hilfe von Differentialformeln.

Mitteilungen des Chefs des Kriegs-Karten- und Vermessungswesens 1944, Heft 6.

[2] Helmert, F. R„ Die mathematischen und physikalischen Theorien der Höheren Geodäsie.

Leipzig 1880.

[3] Hristow, W. K., Änderungen der geographischen Koordinaten infolge Umorientierung eines geodätischen Netzes und

p

bergang zum anderen Referenzellipsoid. ZfV 1942.

[4] Messerschmidt, E. , Geodätische Lagebestimmung, in: Landesbericht der Bundesrepublik Deutschland über die in den Jahren 1971 bis 1974 ausgeführten Arbeiten. DGK, Reihe B, Heft Nr.212.

[5] Ölander, V. R., A Few Words Concerning the Formulas for the Simple Transformation of Coordinates. Bulletin Geodesique, No. 25, 1952.

[6] Welsch, W„ Beiträge zur Transformation geodätischer geographischer Koordinaten nach Hristow. München 1969.

[7] Welsch, W„ Ein Programm in Algol 60 zur Transformation geodätischer geographischer Koordinaten. DGK, Reihe B, Heft 168.

[8 ] Welsch, W„ Über die Weiterentwicklung der Legendreschen Reihen. Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen und Photogrammetrie 61 (1974) 4.