¨Uber eine Beziehung zwischen den rechtwinkeligen, sph¨arischen Koordinaten und den rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten einer zentralen Horizontal-Projektion

Paper-ID: VGI 191126

Uber eine Beziehung zwischen den rechtwinkeligen, sph ¨arischen ¨ Koordinaten und den rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten einer zentralen Horizontal-Projektion

Joseph J. Adamczik

¹

1

Professor an der deutschen Technik in Prag

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen ¨ 9 (7), S. 209–212 1911

BibTEX:

@ARTICLE{Adamczik_VGI_191126,

Title = {{\"U}ber eine Beziehung zwischen den rechtwinkeligen, sph{\"a}rischen Koordinaten und den rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten einer zentralen Horizontal-Projektion},

Author = {Adamczik, Joseph J.},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {209--212},

Number = {7}, Year = {1911}, Volume = {9}

}

ÖSTE ^{R R} EIÖH ISCHE

ZEITSCHRIFT FÜR VERMESSUNGSWESEN.

ORGAN

PES

VEREINES DER ÖSTERR.

^{K. K.}

VERMESSUNQSBEAMTEN.

Redaktion: Prof. E. Dolehl und Bauinspekför S. Wellisch.

r;.lr, 7·

Wien.

^am

1. Juli 1811.

IX.

Jahrgang.

't

Ob· er eine Beziehung zwischen den rechtwinkeligen, sphärischen Koordinaten und den rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten einer zentralen Horizontal-

Projektion.

Von J. Adamczlk, Professor an der deutschen Technik in _Prng.

Betrachten wir qen durch seine geographischen K^oordin^aten auf..., cJer Erd­

kugel gegebenen Punkt U als Ursprung sowohl für

ein

rechtwinkeliges, · sphä­

risches Koordinatensystem, als attch für ein rechtwinkeliges, ebenes Koord

i

^naten

^­

system, so werden die„ Schnitte der Meridianebene von U mit der Kugel und mit der Horizontebene die beiden Abscissenachsen und die Schnitte der Ebene des 1. Verti

'j{

ales mit der Kugel und mit der Horizontalebene die beiden Ordi­

natenachsen ergeben.

Zur geometrischen Darstellung wählen

wir

die Vertikal-Projektionsebene p^arallel

.

^{zur Me}rid

i

^{anebene von U Die} Horizontal·Projektionsebene ist sohin par^allel iur Horizontebene von U Mittels der geographischen Breite 'P von {;

läßt sich, von der Lotlinie ausgehend,

die

^{Lage der}

Äquatorebene

^{A A u}

n

^{d der}

Erdachse NS einzeichnen

.

Da sich in der Horizontalprojektion die beiden

Groß­

kreise der Achsen des rechhyinkelig1 spärischen Achsensystemes als Gerade dar­

stellen, fallen in dieser Pr^o

j

ektⁱon die b'eiden X-Achsen und die beiden Y-Achsen ganz zusammen. Wir wollen hier +X nach Süd und

+

y· nach West legen

.

Wählen wir auf der Erdkugel 2 Punkte

a

und b aus;� ^wel^che wir im recht­

winkelig,�· sphärischen Koordinatensystem zur Darstellung bringen ^wolleⁿ

,

so haben wir zur Konstruktion d r Verbin dungslinie der beiden. funkte den

Groß­

kreis zu ^suchen

,

welcher diese beiden Punkte enth�lt. Wir haben also

den

Schnitt der Erdkugel mit einer Ebene zu bestimmen, welche durch die beiden gegebenen Punkte a und

b

^{und den} Erdmittelpunkt ^hindu^rch^geht

. In

der Zeich·

nung wurde die Vertikalspur

V..:'

einer solchen

S

^chni^tt^eb^ene � zuerst an·

genommen und ^mittels einer horizontalen Spurparallelen H, welche den Erd·

2tö

mittelpunkt enthält, wurde die zug

e

hörig

e Ho r

i

zo

nt

a l s

p

u

r

81'"

konstruiert. Zur Konstruktion d

er Achsen cler e

ll

i

psenfö^.r

mi

g

en

VerÜkalprojektion

des Schnitt­

kreise�

wurde

eine 3

^{. .}

Hilfsprojektionsebene

a

e

i

n

g

e fü

h

rt

,

welche sowohl

senk­

recht auf d

e

r

Vertikalprojektionsebene,.

als auch senkrecht zur Sch

ni

tt

ebe

n

e

g

steht. Die Umlegung

der Schnittlinie d

er beiden Ebenen

a und g

in

die Vertikal­

Pro

jekt

ions

ebe

n

e

, beziehungsweise die

3. Hi

lfsp

r

o

jek

tion

dieser

Schnittgeraden

i

st in 1'3 Ss da

r

gest

ellt . Dieselbe

schließt

mit

v�u. den Nei^gungswinke

l der Eben.e

^g

gegen

die.

Vertikalproj ektion$ebene. ein.

Der A

b

stand

der 3. Pro

_j

e ktj

_on

des Kug

e

lmitt

e

lpunktes oH v

o

n V� a. ist gle

i

ch d

em

Abst

ande

d

er

Hor

i

zo

n

ta

l­

p

ro

j

e

kt

ion o1 von

der Hauptprojektionsachse. Der

:um oa m

i

t d

e

m K

u

g

e

lradiu

s

beschriebene Kr

e

i

s stellt

die

3.

P

ro

j

ekt

ion der Erdkugel µar. In r� s2 und

P�

q'J

ergebeti

sich die Achsen einer Ellipse, welche die ge

s

uc

h

t

e Vertikalprojektion des

Schn

i

ttkr

e

i

se

s darstellt. Auf dieser E

l

lipse

wurden nun die

beiden

Punkte

a, und b, ang

en

ommen. Zur Konstruktion de

r

Achs�n

der

Ellipse,

welche die

Horizontalprojektion des Schnittkreises

d

er

Ebene

g mit der Kugel

er

gi

b

t, wurde

die

Hi

l

fsproj

e

kt

i

ons^�

b

ene .o" g

e

wäh�t und i^hr

e

Horizontalspl!r

/-1..Q

scho�

in einem

solchen

Aq

s

t�n^de V0!1. 01 gl

e

ich

dem. Abstande 01

von der Hauptprojektions­

achse aoge11ommen, daß

dje 3.

Hi

l

fsprojekti

o

n ·der Kugel m'it ih

r �

t

Hdrizontal­

projektion 7JUSammenfä.llt. Die um

g^ele

g

te

Schnittlinie. von

t1 mir .g.

enthält

^.de111�.

nach

in a�

ßa ^die

^{3. P}

^roj

^e

^kt

^ion des Schnittkreises

der Ebene

g mit

der

^Kugel.

In a1

ß1 und

r1 01 ^e

r

ge

b

en^. sich die Achseri

der E

llip

s

e, welche die gesuchte Horizontalprojek

t

ion des Schnittkreises darstellt. Selbstverständlich

sind

mm die Horizontalprojektionen der ^a

ng

enommen

en

Punkte, �as sind ^a1

und bi

auf dieser

Ellipse gel

ege

n. ^· .

Im rechtwinkelig-sphärischen K

o

ordinat

e

nsyst

e

m

ist der

Ord

i

na

ten

k

re

is von

a in s

e

iner

Vertikalprojektion durch die

^Gerade

Q,

^as

dargestellt,

w

e

lc

her

in der Horizontalprojektion der Ellipsenbogen

Q1 ^{ai e}

ⁿ

^{t s p}

^richt.

^E

^ben

^s

^{o ent}

^s

^p

^r

ⁱ

^c

^ht

^dem

O

r

diiia

te

nkr

ei

s von

b

^{i n}

^der

Vertikalprojektion die Gerad

e Q, b,

^{und i}

ⁿ

^der

Horizontalprojektion der Ellip

s

enbogen

Qi b1.

Denken wir

uns den K

ug

elmitt

elpu

nkt als

das Projektionszentrum

für eine

Zentralprojektion

und d.ie

Horiz

o

n

te

b

e

n

e

von

V als

Bildebene,

so

werden sich di^e

.Ze

n

t

ral

pr

o

j

ektione

n der beiden Pu

n

k

te

a

und b

im Schnitte der

ver

lil.

nge

r

t

e

n Kugelradi

e

n o a u

n

^d

_ob

mit

der

Horizontebene ·ergeben. Da a

b

er di

e

se b

e

ide

n Pu

n

k

te

a

und b der

Eb

e·ne g ang

eh ö

ren,

so we

rde

n

die Zentralprojektionen

a' und·

b' auf der

S

ch

n

ittge

r

ade

n

T von g

mit

der Bildebene gelegen sein. Die

s

e Schnittg

e

rade T ist hier eine horizontale Spurparallele der Ebene g, so daß sic

h 7� leicht au.s T.

bestimmen

läßt. Im

Sc

h

n

ittp

u

n

k

te von

o, a, mit

T.

^erg

i

bt sich a,', .im

S

^chni

tt

p

u

nkt

e

von

"'ö�

^mit

^7�

^{ergibt sich n.1'.· Auf ·ähnliche W}

^e

ⁱ

^s

^e

erhält tnan die Z

e

ntral

p

ro

j

ek

t

i

one

n

b,'

u

n

d

b,'.

^·

Denkt

man sich die Ebene des Or

d

iua

te

nk

r

^eis

e

s von a in

die

MeridiaTl•

ebene von V

u

mgelegt,,

so

wird der

umgelegte

Ordinatenkreis vDn

a

mit

dem

V�rtikal-Unniß der Kugel zusammenfallen, so

daß

^sich

^{a0 s}

^ehr

^leicht

bestintmen läßt. 'Errichtet man in a,'

e

ine Senkrec11te

auf

o, a,', so erhält man i m Sch

ni

tt·

p�nkte von o, a� mit dieser

S

enk

r

echte

n

^,

in a,' die

Um}egung. von

a',

---

-

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_l

\ _\

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\ \ ' \

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.,

211

'\\

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I

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.... } .

· 1 -

212

. . �ez,eich.nen,

wir tpit -,x u�d

J'

die

rechtwinkeligen,

sphärischen Koordinatert .:Y on

^a

und.

ferner mit

l

'und TJ die rechtwinkeligen, ebenen Koordinaten der Z:entralpro

J

^e�tion

^a;

^{�g. i_st}

^{a.' ao' gl}

^ei

^c

^{h 11,}

^·

^{gleich dein Abstande}

^a/

^vo

^{n der}

- Meridianeber.te. ^·

" ^-·

-

^·: _y

Aus d,em. Dr.eiecke o. as' aa'

ergibt

sich: rJ =r= o9

a,/ X tg--;::

-C «

-- 1·

« :· o, a,' ^{c:: -}

-;:-

cos -

r

r . y 17 = ^�-. trr­

x b r

cos -

1·

�

^{= 1'.}

tg­

X' _„

Übe�r"'eifle Er·weiterung: des Rilckwärtseinschneidens.

·voa Professor A. KUngatseh-^{in Graz.}

" - I..

Die di:ei Punkte P1 P,

P�

(Fig. l)

sind

durch ihre

Koo

r

di"nate

n

gegebefü .

·Es ^sind

^drei

^{andere P}

^unkte

P1 p, P•

im Koordinatensystem der. Punkte

P1 -f._ J�j unter der Bedingung zu berechnen,

^{daß das}

Dreieck P1 /l1 Pa

^anderweⁱtig bestimrn.t

ist und die

drei Winkel Wi w�

wa

^{gegeben sind. ·}

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