Im Folgenden untersuchen Sie die sph¨arische Multipolentwicklung und die Taylorentwicklung in kartesischen Koordinaten

Ubungen zur Vorlesung¨ SS 2015

Theoretische Physik LA 2: Blatt 2

Elektrodynamik/Thermodynamik Ausgabedatum: 21.04.2015

Ist die Ladungsdichteρauf einen Ball von endlichem RadiusRbeschr¨ankt, so spaltet die Ent- wicklung von_|r−r¹ 0| f¨urr > r⁰das asymptotische Verhalten in der FernzonerRin Beitr¨age absteigender Relevanz auf. Im Folgenden untersuchen Sie die sph¨arische Multipolentwicklung und die Taylorentwicklung in kartesischen Koordinaten.

Aufgabe 4 (Schriftlich) Kugelfl¨achenfunktionen 6 Punkte In der Quantenmechanik wurde gezeigt, dass das Quadrat des Drehimpulsoperators als Ei- genfunktionen die Kugelfl¨achenfunktionenY_lm(θ, φ) besitzt:

Lˆ²Y_lm(θ, φ) =l(l+ 1)Y_lm(θ, φ).

Diese erf¨ullen u.a. die Vollst¨andigkeitsrelation:

∞

X

l=0 l

X

m=−l

Y_lm^∗ (θ⁰, φ⁰)Y_lm(θ, φ) = 1

sinθδ(θ−θ⁰)δ(φ−φ⁰). (1) Aufgrund dieser Relation kann jede FunktionG(r,r⁰) nach Kugelfl¨achenfunktionen entwickelt werden:

G(r,r⁰) =

∞

X

l=0

∞

X

l⁰=0 l

X

m=−l l⁰

X

m⁰=−l⁰

All⁰mm⁰(r, r⁰)Y_l^∗0_m⁰(θ⁰, φ⁰)Ylm(θ, φ). (2) (a) In Kugelkoordinaten gilt R

δ(r−r⁰)r²sinθ dr dθ dφ = 1. Wie k¨onnen Sie folglich die Delta-Distributionδ(r−r⁰) durchr², sinθ,δ(r−r⁰),δ(θ−θ⁰) undδ(φ−φ⁰) ausdr¨ucken?

Wie k¨onnen Sie damit nach Gleichung (1) die Delta-Distribution durch Kugelfl¨achen-

funktionen darstellen? (2 Punkte)

(b) In Aufgabe 3 wurde gezeigt, dass ∆_|r−r¹ 0| =−4πδ(r−r⁰). Der Laplace-Operator lautet in Kugelkoordinaten

∆ = 1 r

∂²

∂r²r−Lˆ² r².

Zeigen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (a), dass sich mit Gleichung (2) f¨urG(r,r⁰) = _|r−r¹ 0|

folgende Differenzialgleichung f¨ur die All⁰mm⁰ ergibt:

1 r

∂²

∂r²r− l(l+ 1) r²

All⁰mm⁰(r, r⁰) =−4π

r²δ(r−r⁰)δll⁰δmm⁰. (2 Punkte) (c) Zeigen Sie, dass f¨urr > r⁰

A_ll⁰_mm⁰(r, r⁰) =g(r, r⁰)δ_ll⁰δ_mm⁰ mit g(r, r⁰) = 4π 2l+ 1

(r⁰)^l r^l+1

diese Differenzialgleichung l¨ost. (2 Punkte)

1

Aufgabe 5 (Votier) Taylorentwicklung von Feldern 9 Punkte

(a) Die Taylorentwicklung einer Funktion einer Variablen xum x₀ lautet f(x) =

∞

X

n=0

1

n!f⁽ⁿ⁾(x0)(x−x0)ⁿ.

Zeigen Sie, dass die Taylor-Reihe eines skalaren Feldes ϕ(r) gegeben ist durch ϕ(r+ ∆r) =

∞

X

n=0

1

n!(∆r· ∇)ⁿϕ(r). (3)

Definieren Sie hierzu F(t) = ϕ(x₁+ ∆x₁t, x₂ + ∆x₂t, x₃+ ∆x₃t) = ϕ(r+ ∆rt) und

entwickeln Sie diesen Ausdruck um t= 0. (3 Punkte)

(b) Berechnen Sie mit Gleichung (3) die Taylorentwicklung von _|r−r¹ 0| um den Punktr= 0 in kartesischen Koordinaten bis zur 2. Ordnung. Geben Sie damit die Monopol-, Dipol- und Quadrupolterme des Potenzials φmit

φ(r) = 1 4π₀

Z

d³r⁰ ρ(r⁰)

|r−r⁰| (4)

einer Ladungsverteilung an. (6 Punkte)

Aufgabe 6 Sph¨arische Multipolmomente Vortrags¨ubung

Wie in Aufgabe 4 motiviert, lautet die sph¨arische Multipolentwicklung von _|r−r¹ 0| f¨urr > r⁰: 1

|r−r⁰| = 4π r

∞

X

l=0 +l

X

m=−l

1 2l+ 1

r⁰ r

l

Y_lm^∗ (θ⁰, ϕ⁰)Y_lm(θ, ϕ)

mit den aus der Quantenmechanik bekannten Y_lm. Leiten Sie mit Gleichung (4) folgende Multipolentwicklung her und geben Sieqlm an:

φ(r) = 1 ₀

∞

X

l=0

1 2l+ 1

1 r^l+1

+l

X

m=−l

q_lmY_lm(θ, ϕ). Berechnen Sie q_lm f¨url= 0,1 explizit.

Wie lassen sich diese sph¨arischen Multipolmomente q_lm f¨ur l = 0,1 durch die kartesischen Monopol- und Dipolmomenteq und pausdr¨ucken?

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