Kapitel II Sph¨ arische Geometrie

Kapitel II Sph¨ arische Geometrie

§1. Sph¨arische Dreiecke

Die 2-dimensionale (Einheit-)Sph¨are ist die Fl¨ache S² =

P ∈R³ | |−→OP|= 1 .

Zwei Punkte A, B ∈S², welche verschieden und nicht antipodisch sind, bestimmen eine Ebene E durch 0. Der Schnitt von E mit S² ist ein Grosskreis. Der Gross- kreisbogen (< π) zwischen A und B wird als Seite AB^_ definiert. Grosskreise sind

“geod¨atische Linien”, d.h. die Seite AB^_ ist der k¨urzeste Weg zwischen A und B, welcher ganz auf S² liegt. Drei Punkte A, B und C auf S² so, dass die Vektoren

~a = −→OA,~b = −−→OB und ~c = −→OC linear unabh¨angig sind, bestimmen ein sph¨arisches Dreieck, dessen Seiten Grosskreisbogen sind. Das Dreieck M(ABC) hat drei Winkel

α ( mit Spitze in A), β ( mit Spitze in B), γ ( mit Spitze in C) und drei Seiten

a (gegen¨uberA), b (gegen¨uberB), c (gegen¨uberC)

Die Winkel und die Seiten werden in Bogenmass gemesssen. Nach Definition haben wir

a=^(~b,~c), b=^(~c,~a), c=^(~a,~b)

Der Winkel αist der Winkel zwischen den Ebenen E₁, erzeugt von~a und~b, und E₂, erzeugt durch~a und~c. Da~a×~b⊥E₁ und~a×~c⊥E₂ gilt

α=^(~a×~b, ~a×~c) und analog

β =^(~b×~a, ~b×~c), γ =^(~c×~b, ~c×~a).

Es folgt

cosa = ~b·~c, sina = |~b×~c|, cosα = ^(~a×~b)·(~a×~c)

|~a×~b||~a×~c|

cosb = ~c·~a, sinb = |~c×~a|, cosβ = ^{(~b×~a)·(~b×~c)}

|~b×~a||~b×~c|

cosc = ~a·~b, sinc = |~a×~b|, cosγ = ^(~c×~b)·(~c×~a)

|~c×~b||~c×~a|

§2. Sph¨arische Trigonometrie

Ein sph¨arisches Dreieck wird durch 3 Gr¨ossen bestimmt. Das Ziel der sph¨arischen Trigonometrie ist es, Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen der Seiten und Winkel in einem sph¨arischen Dreieck zu finden. Fr¨uhere subtile geome- trische Schl¨usse k¨onnen durch Verwendung der Vektorrechnung vermieden werden.

Die Bezeichnungen sind diejenigen von §1.

Satz: Sei V =|[~a,~b,~c]| das Volumen des von~a,~b und~c aufgespannten Parallelepi- pedes. Es gilt

sina·sinb·sinγ =V.

Beweis: Es gilt (~c×~a)×(~c×~b) = [~a,~b,~c]~c (siehe Abschnitt ¨uber mehrfache Produkte von Vektoren) somit

(~c×~a)×(~c×~b)|=|[~a,~b,~c]| anderseits:

|(~c×~a)×(~c×~b)| = |~c×~a| · |~c×~b| ·sinγ.

Da

|~c×~a|= sinb, |~c×~b|= sina

folgt die Behauptung.

Folgerung: ^sin_sin^γ_c = _sina·sin^V_b·sinc.

Da die rechte Seite in a, bund c symmetrisch ist, folgt derSinus-Satz:

sinα

sina = sinβ

sinb = sinγ sinc Seiten - Cosinus - Satz

cosa = cosb·cosc + sinb·sinc·cosα cosb = cosc·cosa + sinc·sina·cosβ cosc = cosa·cosb + sina·sinb·cosγ Beweis: Wir ben¨utzen die Lagrangesche Identit¨at

(~a×~b)·(~a×~c) = (~a·~a)(~b·~c)−(~a·~c)(~a·~b).

Auf Grund der Definition des Skalarprodukts gilt

(~a×~b)·(~a×~c) = |~a×~b||~a×~c|cosα

= sinc·sinb·cosα.

Anderseits ist

(~a·~a)(~b·~c)−(~a·~c)(~a·~b) = cosa−cosbcosc und somit

cosa = cosb·cosc+ sinb·sinc·cosα.

Die anderen Formeln folgen durch zyklische Vertauschung.

Anwendung: Entfernung auf der Erde.

Idealisiert ist die Erde eine Kugel mit Radius r = 6371 km. Ein Punkt P der Erdoberfl¨ache kann durch zwei (geographische) Koordinaten festgelegt werden:

(1) die (westliche, bzw. ¨ostliche)L¨angeϕ, gemessen aus dem Null-Meridian (Green- wich). Die Gr¨osse ϕ ist der Winkel zwischen der vertikalen Ebene bestimmt durch 0, N = Nordpol und G = Greenwich, und der vertikalen Ebene durch 0, N und den Punkt P.

(2) die (n¨ordliche, bzw. s¨udliche)Breiteϑ; sie ist bestimmt durch die Distanz zum Aquator¨ (auf dem Grosskreis).

L¨ange und Breite werden im Winkelmass gemessen.

Beispiel: Paris: (ϕ = 2.3^◦ E, ϑ= 48.8^◦ N), Berlin: (ϕ = 13.4^◦ E, ϑ= 52.5^◦ N) Der ¨Ubergang zu den kartesischen Koordinaten ist gegeben durch die Formeln

x = rcosϑcosϕ y = rcosϑsinϕ z = rsinϑ

Der Abstandρ vonP zurz-Achse ist gleich rcosϑ. Seien jetztP₁, resp. P₂, gegeben durch (ϕ₁, ϑ₁), resp. (ϕ₂, ϑ₂) (z.B.,P₁ = Paris,P₂ = Berlin). Im sph¨arischen Dreieck N (= Nordpol), P₁, P₂ haben wir f¨ur die Seiten:

NP_₁ = 90^◦−ϑ₁, NP^_₂ = 90^◦−ϑ₂

und P₁^_P₂ ist zu berechnen. Der Winkel in N (gegen¨uber der Seite P₁^_P₂) ist gleich ϕ₂−ϕ₁. Daraus folgt

cosP₁^_P₂ = cos(90^◦−ϑ₁) cos(90^◦−ϑ₂)

+ sin(90^◦−ϑ₁) sin(90^◦−ϑ₂) cos(ϕ₂ −ϕ₁) oder

cosP₁^_P₂ = sinϑ₁sinϑ₂+ cosϑ₁cosϑ₂cos(ϕ₂−ϕ₁) Bemerkung: Wir haben auch

cosP^_₁P₂ = cos^(−−→OP₁,−−→OP₂)

= −−→OP₁·−−→OP₂

und die kartesischen Koordinaten von P₁, resp. P₂ lassen sich durch

−→OP =

rcosϑcosϕ rcosϑsinϕ

rsinϑ

!

berechnen. So bekommt man eine andere Herleitung der obigen Formel.

§3. Referenzsysteme in der Astronomie

SeiEder Beobachtungsort. Man interpretiere alle Himmelsrichtungen als Punkte auf einer Sph¨are mit ZentrumE(Himmelskugel). Wir haben folgende Spezialrichtungen.

(Figur!)

• Z: Zenit vertikale Richtung ¨uber E

• N_a:Nadir antipodale Richtung zu Z

• N, S, W, O: Nord, S¨ud, West, Ost in der horizontalen Ebene durch E (Hori- zont)

• P_N,P_S:n¨ordlicher und s¨udlicher Himmelspol

• ϕ:Polh¨ohe, Erhebung von P_N uber Horizont.¨

Der Aquator¨ ist die Ebene durch E senkrecht zur Polrichtung. DerMeridianist die vertikale Ebene durch Z und P_N. (Figur!)

Die Lage eines Sternes St wird durch zwei Koordinaten bestimmt, welche der geo- metrischen Breite und der geometrischen L¨ange entsprechen. Es werden zwei Koor- dinatensysteme verwendet.

1. Das Horizontsystem (lokale Beobachtung).

Das System wird durch das System der Vertikal- und H¨ohenkreise dargestellt.

h: dieH¨ohe(¨uber Horizont) ist der Winkel zwischenStund Horizont gemessen auf dem Vertikalgrosskreis durch St.

z = 90^◦−h ist die Zenitdistanz.

a: dasAzimut ist der Winkel zwischen der vertikalen Ebene durch Stund der vertikalen Ebene durch die S¨udrichtung S.

2. Das ¨Aquatorsystem(astronomische Jahrb¨ucher).

Das System wird durch das System der Stunden- und Parallelkreise dargestellt.

Der Stundenkreis geht durch die Achse P_N − P_S und durch den Stern St.

Parallelkreise sind parallel zum ¨Aquator.

δ: die Deklination ist die H¨ohe ¨uber dem ¨Aquator, gemessen auf dem Stun- denkreis.

S: der Stundenwinkel stellt den Winkel zwischen dem Meridian und dem Stundenkreis dar. Er wird h¨aufig in Stunden gemessen (1 Std. = 15^◦, 1^◦ = 4 min).

Fast alle Probleme der astronomischen Ortsbestimmung finden ihre L¨osung im sph¨arischen Dreieck Nordpol P_N, Zenith Z, Stern St, welches als astronomisches (oder nautisches)Dreieckbezeichnet wird. (Figur!)

Die Seiten und Winkel des Dreiecks M(P_N, Z, St) sind

S = ^ in P_N

180^◦−a = ^ in Z P_N_Z = 90^◦−ϕ P_N_St = 90^◦−δ ZSt_ = 90^◦−a

Der Winkel in St, der sogenannte parallaktische Winkel, ist von geringerer Bedeu- tung, da er nicht gemessen werden kann.

Mit Hilfe der Formeln der sph¨arischen Trigonometrie kann man von einem Koordi- natensystem in das andere ¨ubergehen. z.B.

cosz = cos(90^◦−ϕ) cos(90^◦−δ) + sin(90^◦−ϕ) sin(90^◦−δ) cosS cosz = sinϕsinδ+ cosϕcosδcosS.

§4. Ubergang zur ebenen Trigonometrie¨

Sei ABC ein sph¨arisches Dreieck auf S² mit Seiten a, b, cund Winkeln α, β, γ. Wir nehmen an, dass die Seitenl¨angen klein seien gegen¨uber 1, z.B. ∼= 0,01. Eine solche Seite entspricht einer Distanz von ungef¨ahr 60 km auf der Erde, da der Radius 6371 km betr¨agt.

Aus den Taylorentwicklungen:

sinx = x− ^x_3!³ + ^x_r!⁵ − +· · · cosx = 1−^x_2!² + ^x4

4! − +· · · . ergeben sich folgende Approximationen

sinx≈x, cosx≈1− x² 2!

wenn man h¨ohere Potenzen (x³ ≈10⁻⁶) vernachl¨assigt. Aus dem Sinus-Satz sinα

sina = sinβ

sinb = sinγ sinc der sph¨arischen Trigonometrie folgt dann der Sinus-Satz

sinα

a = ^sin_b^β = ^sin_c^γ der ebenen Trigonometrie. Aus dem Seiten-Cosinus-Satz

cosa = cosbcosc+ sinbsinccosα folgt

1− a² 2 =

1−b²

2

1− c² 2

+bccosα oder der Cosinus-Satz der ebenen Trigonometrie:

a² = b²+c²−2bccosα

da man b²c² auch vernachl¨assigen kann. Ist α= ^π₂ so folgt aus dem Seiten-Cosinus- Satz

cosa = cosbcosc (sph¨arischer Pythagoras), im Grenzfall:

a² = b²+c² (ebener Pythagoras).

§5. Die Formel von Gauss-Bonnet f¨ur sph¨arische Dreiecke

Sei ABC ein sph¨arisches Dreieck auf der Sph¨areS² vom Radius 1 und seiF_ABC sein Fl¨acheninhalt.

Satz: F_ABC = α+β+γ−π.

Beweis: Sei ¯A (resp. ¯B,C) der antipodale Punkt zu¯ A, resp. B, C. Die Sph¨are S² wird durch die 8 Dreiecke

4(A, B, C), 4( ¯A,B, C),¯ 4( ¯A, B, C), 4(A,B,C)¯ 4( ¯A,B,¯ C),¯ 4( A, B,C),¯ 4(A,B,¯ C),¯ 4( ¯A,B, C)

uberdeckt (Figur!). Antipodale Dreiecke haben den gleichen Fl¨¨ acheninhalt. Es folgt:

F_ABC +FA¯BC¯ +F_ABC¯ +F_{AB ~C} =FA¯B¯C¯ +F_ABC¯+F_AB¯C¯ +F_ABC¯ . Da die Gesamtoberfl¨ache von S² gleich 4π ist, folgt

F_ABC+F_A¯BC¯ +F_ABC¯ +F_ABC¯ = 2π.

Zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Seite schliessen sich zu einem 2-Eck mit anti- podalen Punkten als Ecken, z.B.

4(A, B, C)∪ 4(A,B, C)¯

ist das 2-Eck mit ¨Offnungswinkel β in B, resp. ¯B. Die Oberfl¨ache eines solchen 2- Eckes ist proportional zu β und f¨urβ = 2πkriegt man die ganze Oberfl¨ache vonS², also 4π. Es folgt, dass

F_ABC + F_ABC¯ = 2β FABC¯ + F_ABC = 2α F_A¯BC¯ + F_A¯B¯C¯ = 2γ.

Da F_ABC =F_A¯B¯C¯ folgt durch Summieren der 3 Gleichungen 2(α+β+γ) = 3F_ABC+F_ABC¯ +FABC¯ +FA¯BC¯

= 3F_ABC+ 2π−F_ABC so, dass

α+β+γ−π = F_ABC

Beispiel: Sei 4(A, B, C) ein gleichseitiges Dreieck aufS² mit Seitenl¨ange a= 60 (entspricht eine Seite von 60 km auf der Erde). Aus dem Seiten-Cosinus-Satz (mit6371 a=b=c) folgt

cosα = ^cosa−cos2a

sin²a = ^cosa

1+cosa

so, dass α= 60,00073^◦. Die entsprechende Fl¨ache auf der Erde ist F_Erde = (6371)²(3α−π) = 1558.863 km². Ein ebenes Dreieck mit Seitenl¨ange a= 60 km hat den Inhalt

F_Ebene =a²·

√3

4 = 1558.846km². Der Unterschied ist kleiner als 0.0004%.

§6. Geographische Karten

Eine Karte f¨ur ein Fl¨achenst¨uck im Raum (z.B. ein Teil der Einheitssph¨are S²) ist eine bijektive Abbildung dieses Fl¨achenst¨uckes in die Ebene R². Mit Hilfe dieser Abbildung werden Koordinaten auf der Fl¨ache definiert. Die Abbildung soll glatt sein (gen¨ugend oft differenzierbar) und so wenig wie m¨oglich verzerrend. Die “per- fekte” Karte ist l¨angentreu, winkeltreuund fl¨achentreu. Man spricht dann von einer isometrischen Karte.

Beispiel: Ein Zylinder oder ein Kegel kann isometrisch in die Ebene abgebildet wer- den: man schneide die Fl¨ache l¨angs einer Mantellinie auf und rolle sie ab!

Satz: Auf S² (oder Teilen von S²) gibt es keineisometrische Karte.

Beweis: Bei einer Isometrie gehen geod¨atische Linien auf geod¨atische Linien (k¨urzeste Strecken!) ¨uber. Also ist das Bild eines sph¨arischen Dreieckes ∆(A, B, C) ein ebenes

Dreieck ∆(A^∗, B^∗, C^∗). Da die Winkel erhalten bleiben, giltα^∗+β^∗+γ^∗ = α+β+γ.

AufS²giltα+β+γ > π(daα+β+γ−π =F_ABC). In der Ebene giltα^∗+β^∗+γ^∗ =π.

Aus diesem Widerspruch folgt, dass es keine IsometrieS² →R² gibt.

Eine Karte aufS²(oder auf einem Teil vonS²) weist Verzerrungen auf. Sie kann nicht gleichzeitig l¨angentreu und winkeltreu sein. Wir diskutieren verschiedene ber¨uhmte Beispiele von kartographischen Projektionen.

1. Die Zylinderprojektion (Archimedes 287-212 v. Chr. / Lambert 1728-1777).

Die Erdkugel wird von der Polarachse aus waagrecht auf jenen Zylinder projiziert, welcher die Kugel l¨angs dem ¨Aquator ber¨uhrt. Der Zylinder wird nach der Projektion l¨angs einer Mantellinie aufgeschnitten und abgerollt. Die gesamte Kugeloberfl¨ache wird auf ein Rechteck abgebildet. Breitenkreise gehen in waagrechte Strecken ¨uber, Meridiane (L¨angenkreise) in senkrechte Strecken. L¨angentreu wird nur der ¨Aquator abgebildet. Die Verzerrung ist besonders deutlich in h¨oheren Breiten (Pole!).

Verzerrung in senkrechter Richtung:

Seien r der Radius der Kugel und ϕ, ϑdie geographischen Koordinaten. Seien P : (ϕ, ϑ), Q: (ϕ, ϑ+ ∆ϑ)

benachbarte Punkte auf demselben L¨angenkreis, so dass |P Q^_ | = r·∆ϑ. Seien P^∗ und Q^∗ die Bilder; es gilt auf dem Zylinder: |P^_∗Q^∗| = rcosϑ·∆ϑ (Figur!). Der Verzerrungsfaktor ist cosϑ.

Verzerrung in waagrechter Richtung:

Seien

P : (ϕ, ϑ), R: (ϕ+ ∆ϕ, ϑ)

benachbarte Punkte auf einem Breitenkreis so, dass: |P R^_ |=ρ·∆ϕ =rcosϑ·∆ϕ, wobei ρ =rcosϑ der Abstand zur Polarachse ist. F¨ur die Projektion gilt |P^_∗R^∗|= r·∆ϕ (Figur!). Der Verzerrungsfaktor ist _cos¹_ϑ.

Satz: Die Zylinderprojektion ist fl¨achentreu.

1. Beweis: Man betrachte ein kleines sph¨arisches Rechteck ABCD mit

A= (ϕ, ϑ), B = (ϕ, ϑ+ ∆ϑ), C = (ϕ+ ∆ϕ, ϑ+ ∆ϑ), D = (ϕ+ ∆ϕ, ϑ).

Seine Fl¨ache ist

F =|AB^_ | · |AD^_ |= (r∆ϑ)(rcosϑ∆ϕ).

Das Bild A^∗B^∗C^∗D^∗ hat die Fl¨ache

F^∗ =|A^∗_B^∗| · |A^∗_D^∗|= (rcosϑ·∆ϑ)(r∆ϕ) =F.

2. Beweis: Eine Kugelzone mit der H¨ohehhat die Fl¨ache 2πrh(Formelsammlung!).

Ihr Bild ist ein Rechteck von der L¨ange 2πrund der H¨oheh. Also sind beide Fl¨achen

gleich.

Bemerkung: Die Achse des Zylinders muss nicht notwendigerweise die Achse Nord- S¨ud sein. Man spricht dann von einerschiefachsigen Zylinderprojektion.

2. Die Mercator - Karte (Mercator = Gerhard Kremer 1512-1594)

Ziel: Man m¨ochte eine Karte haben, welche winkeltreu ist (wichtige Eigenschaft f¨ur die Navigation!) und bei welcher Breitenkreise waagrechte und L¨angenkreise senk- rechte Strecken sind.

Idee: Kombiniere die Zylinder-Projektion mit einer Streckung in senkrechter Rich- tung. Sei x=rϕ die waagrechte Komponente und z =rsinϕ die senkrechte Kom- ponente bei der Zylinder-Projektion. Sei v = f(ϑ) die gesuchte neue senkrechte Komponente. Bei einer winkeltreuen Abbildung m¨ussen Verzerrungen in waagrech- ter und senkrechter Richtung gleich sein (Figur!). Bei der Zylinder-Projektion ist der waagerechte Verzerrungsfaktor gleich _cos¹_ϑ und der senkrechte gleich cosϑ. Um den gleichen Faktor zu bekommen m¨ussen wir mit _cos¹_2ϑ in senkrechter Richtung kompensieren. Es muss also

∆v

∆z = 1

cos²ϑ gelten (wir machen alles im Kleinen!). Es gilt

∆v

∆ϑ = ∆v

∆z · ∆z

∆ϑ = 1

cos²ϑ · ∆z

∆ϑ Aus z =rsinϑ folgt ∆z =rcosϑ·∆z (∆z

∆ϑ wird durch die Ableitung z⁰(ϑ) appro- ximiert), somit ∆v

∆ϑ = r

cosϑ und f¨ur ∆ϑ→0

∆ϑ→0lim

∆v

∆ϑ =f⁰(ϑ) = r cosϑ. Eine Stammfunktion von r

cosϑ ist

f(ϑ) =rlog tan(ϑ/2 +π/4) +C.

Aus der Bedingung f(0) = 0 (Bild vom ¨Aquator soll diex-Achse sein) folgt C= 0.

Die Loxodrome: F¨ahrt ein Schiff entlang eines Grosskreises, so muss es laufend den Kurs (Winkel) ¨andern. Praktisch setzt sich der Weg eines Schiffes aus St¨ucken

zusammen, welche einen konstanten Winkel gegen die Meridiane (Nordrichtung!) haben. Eine Kurve des konstanten Kurswinkels heisst Loxodrome. In einer Mercator- Karte wird eine Loxodrome als Gerade abgebildet.

Bemerkung: Die Mercator-Projektion wird auch alswinkeltreue Zylinder-Projektion bezeichnet. Die Landeskarten der Schweiz ben¨utzen eine schiefachsige winkeltreue Zylinderprojektion.

3. Kegel-Projektionen

Die Kugel soll von einem Kegel eingeh¨ullt werden, dessen Achse die Polarachse ist und welcher die Kugel l¨angs dem Breitenkreis ϑ =ϑ₀ (fest) ber¨uhrt. Ein Meridian durch P₀ wird auf die Mantellinie durch P₀ abgebildet (Figur!). Ist P : (ϕ, ϑ) ein beliebiger Punkt auf der Kugel, so wird sein Bild P^∗ auf dem Kegel durch folgende Bedingungen festgelegt:

1) die Mantellinie ist durch den Meridian durch P bestimmt,

2) sein Abstandvom Bild des Ber¨uhrungskreises l¨angs der Mantellinie hat die Form r·f(ϑ), wobei die Funktionf(ϑ) zur Wahl steht. Es muss jedochf(ϑ₀) = 0 gelten.

Schliesslich wird der Kegel l¨angs einer Mantellinie geschnitten und abgerollt.

Beispiel: Der Entwurf von Ptolem¨aus (87-165). Hier ist f(ϑ) = ϑ − ϑ₀. Dieser Entwurf ist l¨angentreu auf Meridiane.

Ubung:¨ Es gibt ein f(ϑ), so dass die Karte winkeltreu ist.

"

f(ϑ) = cotϑ₀−cotϑ₀ tan^sinϑ0(^π₄+^ϑ₂⁰) tan^sinϑ0(^π₂+^ϑ₂)

#

Bei den Kegel-Projektionen gibt es zwei Extremf¨alle:

1) F¨ur ϑ₀ = 0 entartet der Kegel zum Zylinder.

2) F¨ur ϑ₀ = 90^◦ entartet der Kegel zur Tangentialebene im Nordpol. Die entste- hende Karte wird als azimutaler Entwurf bezeichnet. Ein Beispiel eines azimutalen Entwurfes ist die Stereographische Projektion: vom S¨udpol S aus wird der Punkt P : (ϕ, ϑ) auf P^∗ auf die Tangentialebene im Nordpol projiziert. Diese Projektion wurde bereits von Hipparch von Mikaia (180-125) erw¨ahnt. Die Bilder der Meridiane sind Geraden durch O und die Bilder der Breitenkreise sind Kreise mit ZentrumO.

Im rechtwinkligen DreieckSNP^∗ (Figur!) sei αder Winkel inP^∗ undβ der Winkel in S. Aus 2β+ϑ = π

2 und α+β = π

2 folgtα = π 4 + ϑ

2. Es ergibt sich

|NP^∗|

|NS| = rf(ϑ) 2r = cot

π 4 + ϑ

2

f(ϑ) = 2 cot π 4 +ϑ

2

!

Das Bild von P : (ϕ, ϑ) hat also die Koordinaten x= 2rcot π

4 +ϑ 2

!

cosϕ y= 2rcot π 4 + ϑ

2

! sinϕ.

Satz: Die Stereographische Projektion ist winkeltreu.

Beweis: Der Winkel α in P sei der Zwischenwinkel von 2 Tangenten t₁, t₂. Sei E₁ die Ebene durch t₁ und S = S¨udpol und E₂ diejenige durch t₂ und S. Seien t⁰₁, bzw. t⁰₂ die Schnittgeraden von E₁ bzw. E₂ mit der Tangentialebene T_S in S. Der Zwischenwinkel von t⁰₁ und t⁰₂ ist gleich α. Seien t^∗₁, bzw. t^∗₂ die Projektionen von t₁, bzw. t₂ auf die Tangentialebene T_N in N und sei α^∗ ihr Zwischenwinkel. Da t^∗₁//t⁰₁, t^∗₂//t⁰₂ folgtα^∗ =α. (Figur!).

Satz: Die stereographische Projektion ist kreistreu.

Beweis: Sei γ der gegebene Kreis auf der Kugel. Wir denken uns in jedem seiner Punkte Qdie zu ihm senkrechte Kugeltangentet gezogen. Alle Geradentbilden die Mantellinien eines Kegels, welcher die Kugel l¨angs γ ber¨uhrt (Figur!). Sei Z die Spitze dieses Kegels und sei Z^∗ die Projektion von Z auf T_N. Die Projektionen t^∗ der t sind Geraden, welche durch Z^∗ gehen. Die Projektion γ^∗ von γ schneidet alle t^∗ senkrecht, ist also ein Kreis mit ZentrumZ^∗. Es gibt Ausnahmen: Kreise durch S!; ihre Bilder sind Geraden. Wir wollen sie als Kreise mit unendlichem Radius betrachten.

4 ^!

Das Bild des ¨Aquators heisst Hauptkreis. Stereographische Bilder der Grosskreise sind Kreise, welche den Hauptkreis in zwei Diametralpunkten schneiden.

Das Bild einer Loxodrome: Eine Loxodrome schneidet alle Breitenkreise unter einem festen Winkel β. Sei die Loxodrome in der Formρ=g(ϕ) (ρ, ϕ: Polarkoordinaten) gegeben. Wir betrachten ein kleines Dreieck ∆(A, B, C) auf der Karte, mit geogra- phischen Koordinaten: (Figur!):

A: (ρ, ϕ) B : (ρ, ϕ+ ∆ϕ) C : (ρ+ ∆ρ, ϕ+ ∆ϕ) Es gilt tanβ = |BC^_ |

|AB^_ | = ∆ρ ρ4ϕ =:b.

F¨ur ∆ϕ→0 ergibt sich ρ⁰(ϕ) = lim

∆ϕ→0

∆ρ

∆ϕ =b·ρ.

Die L¨osungen der Differentialgleichung:

ρ⁰ = bρ

sind die Funktionen ρ(ϕ) = c·e^bρ, wobei ceine Konstante ist. Verlangt man, dass die Kurve durch P₀ : (ϕ₀, ϑ₀) geht, so muss

ρ(ϕ) = ρ₀e^b(ϕ−ϕ0) mit ρ₀ = 2rcot

π 4 +ϑ₀

2

gelten.

4. Die orthodrome Projektion: (Grosskreiskarte)

Die Projektion erfolgt hier als Zentralprojektion vom Zentrum der Kugel auf ei- ne Tangentialebene. Ist der Ber¨uhrungspunkt B ein Erdpol, so heisst die Karte polst¨andig. Liegt B auf dem ¨Aquator, so bekommt man eine¨aquatorst¨andige Karte.

Diese Karten sind weder l¨angen- noch fl¨achentreu. Jeder Grosskreis wird als Gerade abgebildet. Die Karte eignet sich dabei bei der Auswertung der Funkpeilung. Punkte zwischen 2 Orten auf einer Grosskreisroute k¨onnen mit dem Lineal gefunden werden.

Loxodrome sind gekr¨ummte Kurven.

Bemerkung: Eine Orthodrome ist ein Grosskreis.

Ubung:¨ Die orthodrome Projektion ist nicht winkeltreu.