Parametrisierung einer Fl¨ ache
Eine stetig differenzierbare Parametrisierung
R 3
x 1
.. . x n−1
7→ s (x) =
y 1
.. . y n
¨ uber einem regul¨ aren Bereich R beschreibt ein regul¨ ares
(n − 1)-dimensionales Fl¨ achenst¨ uck S = s (R) ⊂ R n , wenn s im Inneren von R injektiv ist und die Vektoren ∂ 1 s(x ), . . . , ∂ n−1 s(x) f¨ ur alle x ∈ R ◦ linear unabh¨ angig sind.
x s
R y
S ξ
∂
is
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Der bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmte Einheitsvektor ξ, der zu der durch ∂ 1 s(x), . . . , ∂ n−1 s(x) aufgespannten Tangentialebene orthogonal ist, wird als Fl¨ achennormale bezeichnet. Er bildet zusammen mit den Vektoren ∂ i s (x) eine Basis von R n .
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Fl¨ achenintegral
Das Integral einer stetigen Funktion f ¨ uber einem regul¨ aren Fl¨ achenst¨ uck S mit Parametrisierung
x 1
.. . x n−1
7→ s (x) =
y 1
.. . y n
, x ∈ R ,
und Fl¨ achennormale ξ mit |ξ| = 1 ist als Z
S
f dS = Z
R
(f ◦ s) | det(∂ 1 s , . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR
definiert und unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung.
Der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor der Fl¨ achenelemente:
dS = | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s , ξ)| dR .
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Als Spezialfall erh¨ alt man f¨ ur f = 1 den Fl¨ acheninhalt von S.
Die Glattheitsvoraussetzungen an f und s k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, indem man das Integral ¨ uber einen geeigneten Grenzprozess definiert.
Dar¨ uber hinaus kann eine Fl¨ ache aus mehreren Fl¨ achenst¨ acken zusammengesetzt sein. Das Fl¨ achenintegral ist dann die Summe der Integrale ¨ uber die einzelnen Fl¨ achenst¨ ucke.
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Beispiel
Integration der Funktion
f (x, y) = p
x 2 + y 2 auf dem durch
(r, ϕ) 7→ s (r, ϕ) =
(1 + r) cos ϕ (1 + r ) sin ϕ
ϕ
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, − 1
2 ≤ r ≤ 1 2 parametrisierten Teilst¨ uck einer Wendeltreppe S
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Tangentenvektoren:
s r =
cos ϕ
sin ϕ 0
, s ϕ =
−(1 + r) sin ϕ (1 + r) cos ϕ
1
Orthogonalit¨ at = ⇒
| det(s r , s ϕ , ξ)| = |s r | |s ϕ | = q
(1 + r) 2 + 1 Einsetzen in Definition des Fl¨ achenintegrals
Z
S
f dS = Z 2π
0 1/2
Z
−1/2
(1 + r ) q
(1 + r) 2 + 1 drdϕ
= 2π
1/2
Z
−1/2
(1 + r ) q
(1 + r) 2 + 1 dr
= 2π 3
(1 + r) 2 + 1
32 12−
12= π 12
13 3/2 − 5 3/2
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Beispiel
Fl¨ achenelement des Graphen S einer Funktion z (x, y ) sowie Integration uber ¨ S
dS = q
1 + z x 2 + z y 2 dxdy
Spezialisierung der allgemeinen Definition f¨ ur die Parametrisierung
(x , y) 7→ s(x, y) =
x y z (x, y)
mit Fl¨ achennormale ξ parallel zu
1 0 z x
| {z }
s
x×
0 1 z y
| {z }
s
y=
−z x
−z y 1
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|ξ| = 1, ξ ⊥ s x , s y = ⇒ | det(s x , s y , ξ)| = |s x × s y | = q
1 + z x 2 + z y 2 z.B.
z(x, y) = x 2 + 1
2 y 2 = ⇒ dS = p
1 + 4x 2 + y 2 dxdy Integration von f (x, y) = xy ¨ uber das ¨ uber dem Rechteck [0, 1] × [0, 2]
liegende Fl¨ achenst¨ uck Z
S
f dS = Z 1
0
Z 2 0
xy p
1 + 4x 2 + y 2 dy dx
= 1
3 Z 1
0
h
x(1 + 4x 2 + y 2 )
32i 2 0 dx
= 1
3
1
Z
0
x(5 + 4x 2 )
32− x(1 + 4x 2 )
32dx
= 1
3 1
20 (5 + 4x 2 )
52− 1
20 (1 + 4x 2 )
521
0
= 61 15 − 5
6
√ 5
8 / 8
