Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ~ durch eine Fl¨ ache S mit regul¨ arer Parametrisierung

(1)

Flussintegral

Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ~ durch eine Fl¨ ache S mit regul¨ arer Parametrisierung

D 3 (u, v) 7→ ~ r(u, v) =





x(u, v ) y (u, v ) z(u, v)



 ∈ S

in Richtung der Normalen

~

n = ∂

_u

~ r × ∂

_v

~ r

ist Z Z

S

F ~ · d S ~ = Z Z

S

F ~ · n ~

^◦

dS = Z Z

D

F ~ (~ r(u, v)) · ~ n(u, v) dudv .

Flussintegral 1-1

(2)

Man bezeichnet dabei

d S ~ = ~ n

^◦

dS , dS = |~ n(u, v)| dudv ,

als vektorielles Fl¨ achenelement.

Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das Flussintegral unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung.

Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine ¨ Anderung des Vorzeichens.

D ~r

S

F~

~n

Flussintegral 1-2

(3)

Die Glattheitsvoraussetzungen an F ~ und ~ r(u, v) k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, indem man das Integral ¨ uber einen geeigneten Grenzprozess definiert.

Flussintegral 1-3

(4)

Beispiel:

Fluss des Vektorfeldes F ~ = (x, 1, yz)

^t

durch die Fl¨ ache

S : ~ r(u , v) =



 u

²

u + v

v

²



 , 0 ≤ u, v ≤ 1

partielle Ableitungen

∂

u

~ r (u, v ) =



 2u

1 0



 , ∂

v

~ r(u , v) =



 0 1 2v





Normale (z -Komponente positiv gew¨ ahlt, Fluss nach oben)

n(u, ~ v) = ∂

u

~ r(u , v) × ∂

v

~ r(u, v ) =



 2v

−4uv 2u





Flussintegral 2-1

(5)

Fluss von F ~ durch S

Z Z

S

F ~ · d S ~ =

1

Z

0 1

Z

0



 u

²

1 uv

²

+ v

³



 ·



 2v

−4uv 2u



 du dv

=

1

Z

0 1

Z

0

2u

²

v − 4uv + 2u

²

v

²

+ 2uv

³

du dv

R

1 0

R

1

0

u

^α

v

^β

dudv = (α + 1)

⁻¹

(β + 1)

⁻¹

2 1 3 1 2 − 4 1

2 1 2 + 2 1

3 1 3 + 2 1

2 1

4 = − 7 36

Flussintegral 2-2