Koch’sche Fl¨ ache

(1)

Folgen und Reihen Fl¨ ache der Koch’schen Kurve

Koch’sche Fl¨ ache

Wir haben hier folgendes Ziel; wir wollen herausfinden, ob und wie der von der Kurve eingeschlossene Fl¨ acheninhalt w¨ achst.

Wie wir schon wissen, w¨ achst die L¨ ange der Kurve ins Unendliche, doch wie man sich schnell ¨ uberzeugt, bleibt der Fl¨ acheninhalt (beispielsweise vom Umkreis um das Startdreieck) begrenzt.

Da andererseits (anschaulich klar) in jedem Schritt Dreiecke (= Fl¨ ache!)

dazukommen, handelt es sich mit unserem Wissen um eine monoton wachsende Folge, welche beschr¨ ankt ist. Also muss es einen Grenzwert f¨ ur die Fl¨ ache geben.

Und der ist (noch unbewiesen) das 1.6-fache des Startwertes, welcher die Fl¨ ache des ersten Dreiecks ist.

Den Startwert bestimmen wir schnell; er ist allgemein bei gleichseitigen Dreiecken A = ^a ₄

²

√

3. Dabei ist a die Kantenl¨ ange, welche wir mit a = 1 festgelegt haben.

Und damit ist unser A ₀ =

√ 3 4 .

Nun kommen jeden Schritt Dreiecke dazu. Diese sind zwar in der Anzahl stetig wachsend, andererseits werden sie auch immer kleiner.

Man k¨ onnte den Zuwachs ∆A schreiben wie folgt: ∆A _k = n _k · (a _k ) ²

√ 3 4

Damit ist gemeint, dass n k die (steigende) Anzahl der Dreiecke im k-ten Schritt ist und a k die (je Schritt schrumpfende) Grundseite der Dreiecke. Das sind Folgen. Die schauen wir uns jetzt an. Dabei sehen wir nur auf den Fl¨ achenzuwachs bei einer Seite des Dreiecks. Warum? Weil wir das ja einfach mit 3 multiplizieren k¨ onnen.

Zuerst n _k : Die Anzahl der dazukommenden Dreiecke ist im 0. Schritt einfach n ₀ = 1(die Null ist willk¨ urlich, oft startet man mit der Eins. Einmal festgelegt, bleibt man aber bei seiner Nummerierung!). Dann kommen n ₁ = 4, n ₂ = 16, usw.

dazu. Also gilt allgemein n _k = 4 ^k . Das war es hierzu.

Nun a _k : Die Grundseite in unserem nullten Schritt, also bei dem ersten neuen Dreieck auf der Seite ist a ₀ = ¹ ₃ . Dann ist es a ₁ = ¹ ₉ , da ja in jedem

Konstruktionsschritt die Gesamtl¨ ange gedrittelt wird. Es folgen a ₂ = ₂₇ ¹ usw. Man findet hier allgemein a _k = ( ¹ ₃ ) ^k+1 . Dabei brauchen wir die +1 in der Potenz, damit a ₀ wirklich ¹ ₃ ist und nicht a ₀ = ( ¹ ₃ ) ⁰ = 1. Man mache sich das klar.

Nun haben wir also eine M¨ oglichkeit, den Fl¨ achenzuwachs einer der drei Dreieckseiten in jedem Schritt mit unserer obigen Formel anzugeben:

∆A _k = n _k · (a _k ) ² ·

√ 3

4 = 4 ^k · (( ¹ ₃ ) ^k+1 ) ² ·

√ 3 4

Das ist aber noch einfacher zu schreiben. Wir formen ¨ aquivalent um:

∆A _k = 4 ^k · ( ¹ ₃ ) ^2(k+1) ·

√ 3

4 = 4 ^k · ( ¹ ₉ ) ^k+1 ·

√ 3

4 = 4 ^k · ( ¹ ₉ ) ^k · ¹ ₉ ·

√ 3

4 = ( ⁴ ₉ ) ^k ·

√ 3 36

1

(2)

Folgen und Reihen Fl¨ ache der Koch’schen Kurve

Im Prinzip haben wir schon alle Denkleistung vollbracht. Der Rest ist Technik.

Wie ist den nun der Gesamtfl¨ acheninhalt der Kurve (also nach unendlich vielen Schritten)?

A _gesamt = A ₀ + 3(∆A ₀ + ∆A ₁ + ...)

Also der Wert ist ja die Summe aller Zuw¨ achse 3 · ∆A _k (dreimal, da wir nur eine Seite ber¨ ucksichtigt hatten), addiert zum Ausgangsfl¨ acheninhalt A ₀ .

A gesamt = A 0 + 3 ·

∞

X

k=0

A k =

√ 3

4 + 3 ·

∞

X

k=0

(( 4 9 ) ^k ·

√ 3

36 ) =

√ 3

4 + 3 ·

√ 3

36 ·

∞

X

k=0

( 4 9 ) ^k

Die Summe ist eine geometrische Reihe mit q = 4/9 und wird bis unendlich

addiert. Der Wert der Reihe ist im n. Schritt normalerweise s _n = (1 − q ⁿ )/(1 − q).

Da nun aber q < 1 gilt und n → ∞ l¨ auft, ist q ⁿ = 0 im Limes.

Also ist der Wert der obigen Reihe einfach

∞

X

k=0

( 4

9 ) ^k = 1

1 − ⁴ ₉ = 1

5 9

= 9 5 .

Gut, also wird A _gesamt =

√ 3 4 + 3 ·

√ 3

36 · ⁹ ₅ = ^5·

√ 3 5·4 + ³

√ 3 20 = ⁸

√ 3

20 = ² ₅ √ 3.

Vergleichen wir das mit A ₀ , dem Fl¨ acheninhalt des ersten Dreiecks, so findet man:

Koch’sche Fl¨ ache

Folgen und Reihen Fl¨ ache der Koch’schen Kurve

Koch’sche Fl¨ ache

Wir haben hier folgendes Ziel; wir wollen herausfinden, ob und wie der von der Kurve eingeschlossene Fl¨ acheninhalt w¨ achst.

Wie wir schon wissen, w¨ achst die L¨ ange der Kurve ins Unendliche, doch wie man sich schnell ¨ uberzeugt, bleibt der Fl¨ acheninhalt (beispielsweise vom Umkreis um das Startdreieck) begrenzt.

Da andererseits (anschaulich klar) in jedem Schritt Dreiecke (= Fl¨ ache!)

dazukommen, handelt es sich mit unserem Wissen um eine monoton wachsende Folge, welche beschr¨ ankt ist. Also muss es einen Grenzwert f¨ ur die Fl¨ ache geben.

Und der ist (noch unbewiesen) das 1.6-fache des Startwertes, welcher die Fl¨ ache des ersten Dreiecks ist.

Den Startwert bestimmen wir schnell; er ist allgemein bei gleichseitigen Dreiecken A = a 4

√

3. Dabei ist a die Kantenl¨ ange, welche wir mit a = 1 festgelegt haben.

Und damit ist unser A 0 =

√ 3 4 .

Nun kommen jeden Schritt Dreiecke dazu. Diese sind zwar in der Anzahl stetig wachsend, andererseits werden sie auch immer kleiner.

Man k¨ onnte den Zuwachs ∆A schreiben wie folgt: ∆A k = n k · (a k ) 2

√ 3 4

Zuerst n k : Die Anzahl der dazukommenden Dreiecke ist im 0. Schritt einfach n 0 = 1(die Null ist willk¨ urlich, oft startet man mit der Eins. Einmal festgelegt, bleibt man aber bei seiner Nummerierung!). Dann kommen n 1 = 4, n 2 = 16, usw.

dazu. Also gilt allgemein n k = 4 k . Das war es hierzu.

Nun a k : Die Grundseite in unserem nullten Schritt, also bei dem ersten neuen Dreieck auf der Seite ist a 0 = 1 3 . Dann ist es a 1 = 1 9 , da ja in jedem

Konstruktionsschritt die Gesamtl¨ ange gedrittelt wird. Es folgen a 2 = 27 1 usw. Man findet hier allgemein a k = ( 1 3 ) k+1 . Dabei brauchen wir die +1 in der Potenz, damit a 0 wirklich 1 3 ist und nicht a 0 = ( 1 3 ) 0 = 1. Man mache sich das klar.

Nun haben wir also eine M¨ oglichkeit, den Fl¨ achenzuwachs einer der drei Dreieckseiten in jedem Schritt mit unserer obigen Formel anzugeben:

∆A k = n k · (a k ) 2 ·

√ 3

4 = 4 k · (( 1 3 ) k+1 ) 2 ·

√ 3 4

Das ist aber noch einfacher zu schreiben. Wir formen ¨ aquivalent um:

∆A k = 4 k · ( 1 3 ) 2(k+1) ·

√ 3

4 = 4 k · ( 1 9 ) k+1 ·

√ 3

4 = 4 k · ( 1 9 ) k · 1 9 ·

√ 3

4 = ( 4 9 ) k ·

√ 3 36

1

Folgen und Reihen Fl¨ ache der Koch’schen Kurve

Im Prinzip haben wir schon alle Denkleistung vollbracht. Der Rest ist Technik.

Wie ist den nun der Gesamtfl¨ acheninhalt der Kurve (also nach unendlich vielen Schritten)?

A gesamt = A 0 + 3(∆A 0 + ∆A 1 + ...)

Also der Wert ist ja die Summe aller Zuw¨ achse 3 · ∆A k (dreimal, da wir nur eine Seite ber¨ ucksichtigt hatten), addiert zum Ausgangsfl¨ acheninhalt A 0 .

A gesamt = A 0 + 3 ·

∞

X

k=0

A k =

√ 3

4 + 3 ·

∞

X

k=0

(( 4 9 ) k ·

√ 3

36 ) =

√ 3

4 + 3 ·

√ 3

36 ·

∞

X

k=0

( 4 9 ) k

Die Summe ist eine geometrische Reihe mit q = 4/9 und wird bis unendlich

addiert. Der Wert der Reihe ist im n. Schritt normalerweise s n = (1 − q n )/(1 − q).

Da nun aber q < 1 gilt und n → ∞ l¨ auft, ist q n = 0 im Limes.

Also ist der Wert der obigen Reihe einfach

∞

X

k=0

( 4

9 ) k = 1

1 − 4 9 = 1

5 9

= 9 5 .

Gut, also wird A gesamt =

√ 3 4 + 3 ·

√ 3

36 · 9 5 = 5·

√ 3 5·4 + 3

√ 3 20 = 8

√ 3

Den Startwert bestimmen wir schnell; er ist allgemein bei gleichseitigen Dreiecken A = ^a ₄

Und damit ist unser A ₀ =

Man k¨ onnte den Zuwachs ∆A schreiben wie folgt: ∆A _k = n _k · (a _k ) ²

Zuerst n _k : Die Anzahl der dazukommenden Dreiecke ist im 0. Schritt einfach n ₀ = 1(die Null ist willk¨ urlich, oft startet man mit der Eins. Einmal festgelegt, bleibt man aber bei seiner Nummerierung!). Dann kommen n ₁ = 4, n ₂ = 16, usw.

dazu. Also gilt allgemein n _k = 4 ^k . Das war es hierzu.

Nun a _k : Die Grundseite in unserem nullten Schritt, also bei dem ersten neuen Dreieck auf der Seite ist a ₀ = ¹ ₃ . Dann ist es a ₁ = ¹ ₉ , da ja in jedem

Konstruktionsschritt die Gesamtl¨ ange gedrittelt wird. Es folgen a ₂ = ₂₇ ¹ usw. Man findet hier allgemein a _k = ( ¹ ₃ ) ^k+1 . Dabei brauchen wir die +1 in der Potenz, damit a ₀ wirklich ¹ ₃ ist und nicht a ₀ = ( ¹ ₃ ) ⁰ = 1. Man mache sich das klar.

∆A _k = n _k · (a _k ) ² ·

4 = 4 ^k · (( ¹ ₃ ) ^k+1 ) ² ·

∆A _k = 4 ^k · ( ¹ ₃ ) ^2(k+1) ·

4 = 4 ^k · ( ¹ ₉ ) ^k+1 ·

4 = 4 ^k · ( ¹ ₉ ) ^k · ¹ ₉ ·

4 = ( ⁴ ₉ ) ^k ·

A _gesamt = A ₀ + 3(∆A ₀ + ∆A ₁ + ...)

Also der Wert ist ja die Summe aller Zuw¨ achse 3 · ∆A _k (dreimal, da wir nur eine Seite ber¨ ucksichtigt hatten), addiert zum Ausgangsfl¨ acheninhalt A ₀ .

(( 4 9 ) ^k ·

( 4 9 ) ^k

addiert. Der Wert der Reihe ist im n. Schritt normalerweise s _n = (1 − q ⁿ )/(1 − q).

Da nun aber q < 1 gilt und n → ∞ l¨ auft, ist q ⁿ = 0 im Limes.

9 ) ^k = 1

1 − ⁴ ₉ = 1

Gut, also wird A _gesamt =

36 · ⁹ ₅ = ^5·

√ 3 5·4 + ³

√ 3 20 = ⁸

20 = ² ₅ √ 3.

Vergleichen wir das mit A ₀ , dem Fl¨ acheninhalt des ersten Dreiecks, so findet man:

A ₀ =