Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten

(1)

1E1

Zylinderkoordinaten

(2)

1E2

(3)

1E3

(4)

Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten

Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert:

Für sie sollen stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung existieren.

Durch diese Transformationsgleichungen wird der räumliche Be

reich ^V auf einen räumlichen Bereich abgebildet. ^V^

11

D = Dx , y , z

Du , v , w =

∣

^∂^∂^∂^∂^∂^∂ûû^z^xû^y ^∂^∂^∂^∂^∂^∂ ^v^v^v^x^y^z ^∂^∂^∂^∂^∂^∂^w^w^w^x^y^z

∣

x = x u , v , w , y = yu , v , w , z = zu , v , w

dV = dx dy dz = ∣D∣ du dv dw

∫

V

f x , y , z dx dy dz =

∫

V

g u , v , w ∣ D∣ du dv dw

∫

V

g u , v , w dV =

∫

u₁ u₂

∫

v₁u v₂u

∫

w₁u , v w₂u , v

g u , v , w | D| du dv dw

(5)

Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten

Die Zylinderkoordinaten bestehen aus:

● den Polarkoordinaten r und φ der Projektion des Punktes P auf die x, yEbene und

● der zKoordinate des Punktes P



Abb. 1: Ein Punkt im zylindrischen Koordinatensystem

12

(6)

Die Transformationsgleichungen:

Abb. 2: Zylinder

Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten

13

x = r cos y = r sin  z = z

(7)

Die Koordinatenflächen dieses Systems sind:

● die Zylinderflächen mit dem Radius r = const,

● die von der zAchse ausgehenden Halbebenen mit φ = const und

● die zur zAchse senkrechten Ebenen mit z = const

Abb. 3: Zylinder

14

Zylinderkoordinaten

(8)

Die JacobiDeterminante Die JacobiDeterminante

x = r cos , y = r sin , z = z

D = D x , y , z

D r , , z =

∣

^∂^∂^∂^∂^∂^∂^z^r^x^r^r^y ^{∂ }^{∂ }^{∂ }^∂^∂^∂ ^x^z^y ^∂^∂^∂^∂^∂^∂ ^x^z^z^z^z^y

∣

⁼

^∣

^sin^cos⁰^^{ −r}^r ^cos^sin⁰ ^^ ⁰⁰¹

^∣

⁼ ^r

dV = dx dy dz = ∣D ∣ dr d  dz = r dr d  dz

Nach der Darstellung des Integranden in Zylinderkoordinaten lautet das Integral:

∫

V

f r , , z dV =

∫

₁

₂

∫

r₁

r₂

∫

z₁r ,

z₂r ,

f r , , z r dz dr d 

15

(9)

Berechnen Sie folgende Integrale in Zylinderkoordinaten Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Masse eines Körpers mit der Dichte

funktion ρ = 8 + x + y, der von dem Paraboloid f (x, y) = 16 – x² – y² und der x, yEbene begrenzt wird

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Aufgaben 1, 2 Aufgaben 1, 2

2A

I_a =

∫

y=0 1

x

∫

=0



¹ ⁻ ^y²

∫

z = x²  y²



^x²^ ^y²

x y z dz dx dy

I_b =

∫

y=−1 1

x

∫

=0



¹ ⁻ ^y²

∫

z = x²  y²



^x²^ ^y²

x y z dz dx dy

M =

∭

V

 dV

(10)

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 1a Lösung 1a

Abb. L11: Der Integrationsbereich in der x,yEbene

21a

0  y  1, 0  x 



¹ ⁻ ^y² ^, ^x² ^ ^y² ^ ^z ^



^x² ^ ^y²

dV = dx dy dz = r dr d dz , 0    

2 , 0  r  1 , r²  z  r

(11)

x = r cos , y = r sin , z = z

I_a =

∫

y=0 1

∫

x=0



¹ ⁻ ^y²

∫

z = x²  y²



^x² ^ ^y²

x y z dz dx dy =

=

∫

 =0

 2

∫

r=0 1

∫

z=r² r

r cos⋅r sin ⋅z ⋅r dr d  dz =

=

∫

=0

 2

cos  ⋅sin  d 

∫

r=0 1

r³dr

∫

z=r² r

z dz =

= 1

48

∫

=0

 2

cos  ⋅sin  d  = 1 96

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 1a Lösung 1a

21b

(12)

I =

∫

y=0 1

∫

x=0



¹⁻ ^y²

∫

z = x²  y²



^x²^ ^y²

x y z dz dx dy =

= 1 2

∫

y=0 1

∫

x=0



¹ ⁻ ^y²

x y



x²  y² − x²  y²²



dx dy =

= 1 24

∫

y=0 1

y − 3 y⁵  2 y⁷dy = 1 96 In kartesischen Koordinaten:

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 1a Lösung 1a

21c

(13)

Abb. L12: Der Integrationsbereich in der x,yEbene

−1  y  1, 0  x 



¹ ⁻ ^y²

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 1b Lösung 1b

22a

(14)

I_b =

∫

y=−1 1

x

∫

=0



¹ ⁻ ^y²

∫

z = x²  y²



^x² ^ ^y²

x y z dz dx dy =

= 1

2

∫

y=−1 1

x

∫

=0



¹ ⁻ ^y²

x y



^x² ^ ^y² ^{− }^x² ^ ^y²^²



^{dx dy} ⁼ ⁰

(aus Symmetriegründen)

Das Integral kann man in folgender Form darstellen:

I_b = 1

2

∫

y=−1 1

∫

x=x₁ x₂

f x , y dx dy , f x , y = 1

2 x y



^x² ^ ^y² ^{− }^x² ^ ^y²^²



Die Funktion f (x, y) ist in y ungerade und der Integrationsbereich ist symmetrisch bezüglich xAchse

f x ,− y = − f x , y

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 1b Lösung 1b

22b

(15)

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 2 Lösung 2

16 − x² − y² = 0 ⇒ x²  y² = 16

Die Schnittkurve mit der x,yEbene ist die Kreislinie:

Abb. L21: Graphische Darstellung der Funktion f (x, y) = 16 – x² – y² . L ist die Schnittkurve der Fläche z = f (x, y) mit der x,yEbene

23a

(16)

Abb. L22: Der Körper, der von der Funktion f (x, y) = 16 – x² – y² und x,yEbene begrenzt wird. L ist die Schnittkurve der Fläche z = f (x, y) mit der x,yEbene

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 2 Lösung 2

23b

(17)

M =

∫

V

 dV =

∭

^ ^{r dz dr d} ^{ =}

∭

^⁸ ^ ^x ^ ^y^ ^{r dz dr d} ^{ =}

0    2 , 0  r  4 , 0  z  16 − r²

M =

∫

=0 2

∫

r=0 4

∫

z=0 16−r²

8  r cos  r sin r dz dr d  =

=

∫

r=0 4

r 16 − r² dr

∫

=0 2

8  r cos  r sin d  =

= 16

∫

r=0 4

r16 − r² dr = 4⁵ = 1024 ME

Zylinderkoordinaten:

Zylinderkoordinaten: Lösung 2 Lösung 2

23c

(18)

Abb. 41: Carl Spitzweg, “Mann mit Zylinderhut” Abb. 42: Hugo Mühlig, “Herr mit Zylinder”

24a

Zylinder in der Kunst

(19)

24b

Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten

Zylinderkoordinaten