8. Krummlinige Koordinaten

(1)

Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt

3. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 5. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

6. Vektorprodukt

3+3+6=12 Punkte

Gegeben sind die Vektoren

~a=



 1 2 1



, ~b=





−3 0 2



, ~c=





−1

−1 2



.

a) Berechnen Sie die F¨acheninhalte der von den Vektorpaaren {~a,~b}, {~a, ~c} und {~b,~c} aufge- spannten Parallelogramme.

b) Zeigen Sie anhand dieses Beispiels, dass f¨ur das Vektorprodukt das Assoziativgesetz i.A.

nicht gilt, also

~a×(~b×~c)6= (~a×~b)×~c.

c) Zeigen Sie f¨ur beliebige Vektoren~u, ~v, ~w∈R³ die Identit¨at

~

u×(~v×w) = (~~ u·w)~~ v−(~u·~v)w.~

7. Lorentzkraft

5+3=8 Punkte

Wenn sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit~v und der Ladung q in einem Ma- gnetfeld mit der magnetischen FlussdichteB~ bewegt, so wird es durch die Lorentzkraft

F~_L=q(~v×B~) abgelenkt.

a) Betrachten Sie ein Elektron mit der Ladung q = e, welches sich mit der Geschwindigkeit

~

v = (vx, vy,0)^T in der x−y−Ebene bewegt. Das Magnetfeld wirkt in z−Richtung, es hat die FormB~ = (0,0, B)^T. Berechnen Sie die LorentzkraftF~L. In welche Richtung wirkt sie?

b) Berechnen Sie die Leistung P =F~_L·~v, welche die Lorentzkraft erbringt.

8. Krummlinige Koordinaten

2+4+2=8 Punkte a) Geben Sie die Polarkoordinaten der folgenden Punkte an:

~ r1 =

2 5

, ~r2 =

−3 2

.

b) Skizzieren Sie die folgenden durch die Polarkoordinatenr(t) undϕ(t) gegeben Teilchenbah- nen in der x−y−Ebene:

a) r(t) = 2t, ϕ= π

2,0≤t≤1, b) r(t) = 1, ϕ=t²,√

π ≤t≤√ 2π.

(2)

c) Geben Sie die Kugelkoordinaten der folgenden Punkte an:

~r₃ =



 0 2

−4



, ~r₄ =



 1 1 1



.

9. Partielle Integration

4+6+6+6 = 22 Punkte a) Skizzieren Sie zu den Funktionen, deren Graphen unten dargestellt sind, jeweils die erste

Ableitung und eine Stammfunktion.

b) Finden Sie durch Zeichnen der jeweiligen Integranden graphisch heraus, inwieweit sich die Werte der Integrale

Z _2π

0

dxsin²(x) und Z _2π

0

dxcos²(x)

unterscheiden. Nutzen Sie sin²(x) + cos²(x) = 1, um hieraus den Wert der beiden Integrale zu erschließen.

c) Berechnen Sie nun

Z 2π 0

dxcos²(x)

mittels partieller Integration. Stimmt das Ergebnis mit Ihrer Erwartung aus Teil b) ¨uberein?

d) Bestimmen Sie nun noch folgende unbestimmte Integrale:

F1(x) = Z x

x0

dy(3−5y)e^y, F₂(x) =

Z x x0

dyln(y) y⁵ .