Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt
3. ¨ Ubung
Abgabe: Dienstag, 5. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
6. Vektorprodukt
3+3+6=12 PunkteGegeben sind die Vektoren
~a=
1 2 1
, ~b=
−3 0 2
, ~c=
−1
−1 2
.
a) Berechnen Sie die F¨acheninhalte der von den Vektorpaaren {~a,~b}, {~a, ~c} und {~b,~c} aufge- spannten Parallelogramme.
|~a×~b|=√
77, |~a×~c|=√
35, |~b×~c|=√
29 (1)
b) Zeigen Sie anhand dieses Beispiels, dass f¨ur das Vektorprodukt das Assoziativgesetz i.A.
nicht gilt, also
~a×(~b×~c)6= (~a×~b)×~c.
~a×(~b×~c) =
2
−1 0
6=
−4
−14
−9
= (~a×~b)×~c. (2)
c) Zeigen Sie f¨ur beliebige Vektoren~u, ~v, ~w∈R3 die Identit¨at
~
u×(~v×w) = (~~ u·w)~~ v−(~u·~v)w.~
~
u×(~v×w) =~
u1 u2
u3
×
v2w3−v3w2 v3w1−v1w3
v1w2−v2w1
(3)
u2w2v1+u3w3v1+
=0
z }| {
u1w1v1−u1v1w1−u2v2w1−u3v3w1
7. Lorentzkraft
5+3=8 Punkte Wenn sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit~v und der Ladung q in einem Ma- gnetfeld mit der magnetischen FlussdichteB~ bewegt, so wird es durch die LorentzkraftF~L=q(~v×B~) abgelenkt.
a) Betrachten Sie ein Elektron mit der Ladung q = e, welches sich mit der Geschwindigkeit
~
v = (vx, vy,0)T in der x−y−Ebene bewegt. Das Magnetfeld wirkt in z−Richtung, es hat die FormB~ = (0,0, B)T. Berechnen Sie die LorentzkraftF~L. In welche Richtung wirkt sie?
F~L=q(~v×B) =~ e
vx vy 0
×
0 0 B
=eB
vy
−vx 0
(6)
Wie dem Kreuzprodukt zu entnehmen ist, steht die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewe- gungsrichtung und zum Magnetfeld.
b) Berechnen Sie die Leistung P =F~L·~v, welche die Lorentzkraft erbringt.
Da die Lorentzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, kann keine Leistung erbracht werden.
8. Krummlinige Koordinaten
2+4+2=8 Punkte a) Geben Sie die Polarkoordinaten der folgenden Punkte an:~ r1 =
2 5
, ~r2 =
−3 2
.
~r1 = r
ϕ
≈ 5.4
1.2
~ r2=
r ϕ
≈ 3.6
2.6
(7)
b) Skizzieren Sie die folgenden durch die Polarkoordinatenr(t) undϕ(t) gegeben Teilchenbah- nen in der x−y−Ebene:
a) r(t) = 2t, ϕ= π
2,0≤t≤1, b) r(t) = 1, ϕ=t2,√
π ≤t≤√ 2π.
c) Geben Sie die Kugelkoordinaten der folgenden Punkte an:
~r3 =
0 2
−4
, ~r4 =
1 1 1
.
~r3 =
r ϕ ν
≈
4,5 2,7 1,6
~r4=
r ϕ ν
≈
1,7 1,0 0,8
(8)
9. Partielle Integration
4+6+6+6 = 22 Punkte a) Skizzieren Sie zu den Funktionen, deren Graphen unten dargestellt sind, jeweils die ersteAbleitung und eine Stammfunktion.
b) Finden Sie durch Zeichnen der jeweiligen Integranden graphisch heraus, inwieweit sich die Werte der Integrale
Z 2π 0
dxsin2(x) und Z 2π
0
dxcos2(x)
unterscheiden. Nutzen Sie sin2(x) + cos2(x) = 1, um hieraus den Wert der beiden Integrale
0 π 2π 0
0.5 1
sin2(x) cos2(x) sin2(x) +cos2(x)
Anhand der Symmetrie ist zu erkennen, dass die Fl¨ache unter sin2(x) und cos2(x) im Interval [0,2π] gleich groß ist. Da die gemeinsame Fl¨ache 2π betr¨agt, ist somit die Fl¨ache unter einer der beiden Funktionen jeweilsπ.
c) Berechnen Sie nun
Z 2π
0
dxcos2(x)
mittels partieller Integration. Stimmt das Ergebnis mit Ihrer Erwartung aus Teil b) ¨uberein?
Z 2π 0
dxcos2(x) =
=0
z }| { sin(x) cos(x)|2π0 +
Z 2π 0
dxsin2(x) (9)
Z 2π 0
dxcos2(x) = Z 2π
0
dx 1−cos2(x)
Hinweis aus b) (10)
Z 2π 0
dxcos2(x) = 2π− Z 2π
0
dxcos2(x) (11)
2 Z 2π
0
dxcos2(x) = 2π (12)
Z 2π 0
dxcos2(x) =π (13)
d) Bestimmen Sie nun noch folgende unbestimmte Integrale:
F1(x) = Z x
x0
dy(3−5y)ey, F2(x) =
Z x x0
dyln(y) y5 .
F1(x) = Z x
x0
dy(3−5y)ey = (3−5y)ey|xx
0+ Z x
x0
dx5ey (14)
= (3−5x)ex+ 5ex−(3−5x0)ex0−5ex0
| {z }
=C
(15)
= (8−5x)ex+C (16)
F2(x) = Z x
x0
dyln(y)
y5 = −ln(y) 4y4
x x0
+ Z x
x0
dx 1
4y5 (17)
=−ln(x) 4x4 − 1
16x4 +ln(x0) 4x40 + 1
16x40
| {z }
=C
(18)
=−4 ln(x) + 1
16x4 +C (19)
