Beweis durch Vollst¨ andige Induktion, Monotonie und Grenzwerte der Folgen
Dr. E. Nana Chiadjeu
30. 04. 2014
1
Beweis durch Induktion
2
Berechnung der Grenzwerte
1
Beweis durch Induktion
2
Berechnung der Grenzwerte
Beweis durch Induktion
Aufgabe 1 Gegeben sei die Folge definiert durch a
n+1= √
a
n+ 6, n ∈ N , a
0= 1.
(i) Man zeige durch vollst¨ andige Induktion, dass a
nstreng monoton steigend ist.
(ii) Die Folge (a
n) ist beschr¨ ankt (dies muss nicht bewiesen werden). Man berechne den Grenzwert lim
n→∞
a
nBeweis durch Induktion
Aufgabe 1 Vollst¨ andige Induktion: a
n+1= √
a
n+ 6, n ∈ N , a
0= 1.
Induktionsanfang: n = 1 a
1= p
a
0+ 6 = √
1 + 6 = √
7 > 1 d.h. a
1> a
0. Induktionsannahme: wir nehmen an, dass a
n> a
n−1f¨ ur irgend ein n ∈ N
Induktionsschluss: (Zu zeigen: a
n+1> a
n) Aus der Induktionsannahme folgt:
a
n> a
n−1⇐⇒ a
n+ 6 > a
n−1+ 6
⇐⇒ p
a
n+ 6 > p
a
n−1+ 6
⇐⇒ a
n+1> a
nBeweis durch Induktion
Grenzwert: Sei a = lim
n→∞
a
nder Grenzwert:
n→∞
lim a
n+1= lim
n→∞
p a
n+ 6 ⇐⇒ lim
n→∞
a
n+1= q
n→∞
lim a
n+ 6
⇐⇒ a = √
a + 6 ⇐⇒ a
2− a − 6 = 0
⇐⇒ a = 3 oder a = −2 = ⇒ lim
n→∞
a
n= 3
da a
neine positive Folge ist.
Beweis durch Induktion
Aufgabe 2
Durch die Rekursion
a
n+1= a
n+ a
n−1, a
0= 0 , a
1= 1 ,
wird die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert. F¨ ur n ∈ N zeige man durch vollst¨ andige Induktion:
a
n+1a
n−1− a
2n= (−1)
n.
L¨ osung
1
Induktionsanfang: n=1
a
1+ 1 = a
1+ a
1−1⇐⇒ a
2= a
1+ a
0= 0 + 1 = 1 ⇐⇒ a
2= 1 .
a
2a
0− a
21= 0 − 1
2= −1 = (−1)
1Beweis durch Induktion
(b) Induktionsannahme
Wir nehmen an, dass a
n+1a
n−1− a
2n= (−1)
nf¨ ur irgend ein n ∈ N gilt.
(c) Induktionsschluss Zu zeigen ist es:
a
(n+1)+1a
(n+1)−1−a
2n+1= (−1)
n+1d.h a
n+2a
n−a
n+12= (−1)
n+1a
n+2a
n− a
2n+1= (a
n+1+ a
n)a
n− a
2n+1da a
n+2= a
n+1+ a
n= a
n+1a
n+ a
2n− a
2n+1= a
n+1(a
n− a
n+1) + a
2n= a
n+1(−a
n−1) + a
n2, da a
n+1= a
n+ a
n−1= −(a
n+1a
n−1− a
n2)
= −(−1)
n(Induktionsannahme)
= (−1)
n+1Berechnung der Grenzwerte
Aufgabe 3
Man bestimme den Grenzwert der Folge a
n= 3n + 8
√ 7n
2+ 6n + 1 + 9n .
Berechnung der Grenzwerte
Aufgabe 4
Man bestimme den Grenzwert der Folge a
n= √
n + 1 − √ n + 2 lim
n → ∞
a
n= lim n → ∞
√ n + 1 − √
n + 2 = ∞ − ∞ =???
a
n= √
n + 1 − √
n + 2 = ( √
n + 1 − √
n + 2)( √
n + 1 + √ n + 2)
√ n + 1 + √ n + 2
= (n + 1) − (n + 2)
√ n + 1 + √ n + 2
= −2
√ n + 1 + √ n + 2
lim n → ∞
a
n= lim n → ∞
√ −2
n + 1 + √
n + 2 = −2
∞ + ∞ = 0 .
Berechnung der Grenzwerte
Aufgabe 5 Man zeige, dass
∞
X
k=1
1
(k + 1)(k + 2) = 1
2 Hinweis: 1
(k + 1)(k + 2) = 1
(k + 1) − 1 (k + 2) .
∞
X
k=1
1
(k + 1)(k + 2) =
∞
X
k=1
1
(k + 1) − 1 (k + 2)
=
∞
X
k=1
1 k + 1 −
∞
X
k=1
1 k + 2
=
∞
X
k=1
1 k + 1 −
∞
X
k=1+1
1 k + 2−1
=
∞
X
k=1
1 k + 1 −
∞
X
k=2
1 n + 1
= 1
1 + 1 +
∞
X
k=2
1 k + 1 −
∞
X
k=2
