Organisatorische Fragen, Summenzeichen und Vollst¨ andige Induktion
Dr. A. Lakhal
15. 04. 2015
1
Organisatorische Fragen
2
Summenzeichen
3
Vollst¨ andige Induktion
1
Organisatorische Fragen
2
Summenzeichen
3
Vollst¨ andige Induktion
1
Organisatorische Fragen
2
Summenzeichen
3
Vollst¨ andige Induktion
Organisatorische Fragen
1
Vorstellung der Homepage Mathematik an der Wilhelmsh¨ ohe Allee
2
Lernzentrum : Beginn 20.04.2015 Mo-Do 16 - 18 Uhr und Fr 14 - 16 Uhr
3
Ubungsbetrieb: ¨ Beginn 20.04.2015
4
Wo und wann gebe ich die Hausaufgaben ab?
In der Abgabef¨ acher vor dem Raum 2303, im laufe der Woche bis Montag um 10:00 Uhr.
5
Anmeldung zur Vorlesung: Moodle Seiten
(i) Analysis f¨ur Etch, Mech und WiIng SS 2015→Pwd:
Gradient.
(ii) Analysis f¨ur Informatiker SS 2015 →Pwd:Ableitung.
Beginn der Anmeldung: Mi, 15.04.2015 um 17:45 Uhr.
Ende der Anmeldung: Mo, 20.04.2015 um 12:45 Uhr.
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
S
n= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + n
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · ·
V
n= 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n
V = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + · · ·
S
nt= 1 + t + t
2+ t
3+ · · · + t
nDarstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
X
a)
Laufvariable k, t, l , · · ·
b)Anfangswert: 0, 1, 6, beliebig.
X
k=0
, X
t=1
, X
l=6
,
c)
Endwert. n, ∞, · · ·
n
X
k=0
,
∞
X
t=−3
,
T
X
l=6
,
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
S
n= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + n =
Pk=1
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
S
n= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + n =
n
P
k=1
k
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
S
n= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + n =
n
P
k=1
k =
n
P
r=1
r
S = 1 + 5 + 9 + 13 + · · · =
∞
P
t=0
(4t + 1)
25
P
t=0 2t
(t+1)!
=
(0+1)!20+
(1+1)!21+
(2+1)!22+ · · · +
(25+1)!225Unterteilung einer Summe
S
n=
n
P
t=1 t2 t3+1
=
6
P
t=1 t2 t3+1
+
75
P
t=7 t2 t3+1
+
n
P
t=76 t2
t3+1
(n ≥ 100)
S
n=
n
P
t=t0
f (t ) =
r
P
t=t0
f (t) +
n
P
t=r+1
f (t) (n ≥ r)
Vollst¨ andige Induktion
Satz: Beweis durch vollst¨ andige Induktion
Der Beweis der G¨ ultigkeit einer Aussage A(n) f¨ ur alle n ∈
Nwird durch vollst¨ andige Induktion in drei Schritten durchgef¨ uhrt.
1
Man zeigt, dass A(1) gilt, (Induktionsanfang)
2
Man nimmt an, dass A(n) f¨ ur irgend ein n gilt, (Induktionsannahme).
3
Man zeigt: Aus der Annahme A(n) ist richtig, folgt A(n + 1)
ist richtig (Induktionsschluss).
Vollst¨ andige Induktion
Beispiel:A(n) :
n
P
t=1
(2t−1) =n2.:
(i) Induktionsanfang:n=1.
1
X
t=1
(2t−1) =2·1−1=1. 12=1=⇒A(1).
(ii) Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass
n
P
t=1
(2t−1) =n2 (ii) Induktionschluß: Zu zeigen ist dass,
n+1
P
t=1
(2t−1) = (n+1)2
n+1
X
t=1
(2t−1) =
n
X
t=1
(2t−1) + (2(n+1)−1)
= n2+2n+2−1
= n2+2n+1
= (n+1)2
