September 30, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 2.5 Vollst¨ andige Induktion
Michael Grosser Wieso
”funktionieren“ eigentlich Beweise mittels vollst¨andiger Induktion, das heißt, wieso liefern solche meist sogar eher einfachen Beweise die G¨ultigkeit von unendlich vielen AussagenA(0), A(1), A(2), A(3), . . .?
F¨urn = 0 ist das klar, denn wir zeigen jaA(0) explizit im Induktionsanfang.
Der Clou der Sache ist nun aber der, dass unser Beweis des Induktionsschritts A(n) ⇒ A(n+ 1) f¨ur alle n gilt! Der Induktionsschritt stellt also gewisser- maßen einen ¨außerst flexiblen
”Modul“ dar, denn er gilt ja insbesondere f¨ur n= 0 und liefert dort A(0)⇒A(1);
f¨ur n= 1 und liefert dort A(1)⇒A(2);
f¨ur n= 2 und liefert dort A(2)⇒A(3);
usw.
Geben wir jetzt mit unserem erfolgreichen Induktionsanfang die Initialz¨un- dung A(0), so erhalten wir der Reihe nach A(1) [aus A(0)], A(2) [aus A(1)], A(3) [aus A(2)] usw.
Nun sehen wir, dass uns in der Tat nichts aufhalten kann: Es kann keine
”b¨ose Zahl“ k geben, sodassA(0), A(1), . . . , A(k) richtig sind und A(k+ 1) nicht mehr, denn es folgt jaA(k+ 1) ausA(k), gem¨aß dem Induktionsschritt.
YOUTUBE: suche nach
”4000 Dominoes“1.
Die vollst¨andige Induktion funktioniert nat¨urlich genauso, wenn man (statt von n = 0) von n= 1 (odern = 2 etc.) ausgehend
”hinauf in die Unendlich- keit“ startet:
Statt wie im Standardfall
A(0) ∧ ∀n ≥0 :A(n)⇒A(n+ 1)
⇒ ∀n ≥0 :A(n) sieht die Struktur von Satz und Beweis dann beispielsweise so aus:
A(1)
| {z }
Ind.Anfang
∧ ∀n ≥1 :A(n)⇒A(n+ 1)
| {z }
Ind.Schritt
⇒ ∀n ≥1 :A(n)
| {z }
Satz
.
1Lust auf mehr?
”200000 Dominoes—the circus“.
