Organisatorische Fragen,Summen- und Produktzeichen, Vollst¨ andige Induktion
Dr. E. Nana Chiadjeu
16. 04. 2014
1 Organisatorische Fragen
2 Summenzeichen
3 Vollst¨andige Induktion
1 Organisatorische Fragen
2 Summenzeichen
3 Vollst¨andige Induktion
1 Organisatorische Fragen
2 Summenzeichen
3 Vollst¨andige Induktion
Organisatorische Fragen
(a) Vorstellung der HomepageMathematik an der Wilhelmsh¨ohe Allee
(b) Lernzentrum (c) Ubungsbetrieb¨
(d) Wo und wann gebe ich die Hausaufgaben ab?
In der Abgabef¨acher vor dem Raum 2303, im laufe der Woche bis Montag um 10:00 Uhr.
(d) Anmeldung zur Vorlesung. Warum?
Organisatorische Fragen
Parse error: syntax error, unexpected T_VARIABLE in
/home/ingmath/public_html/anmeldung_WA/abschluss.php on line 2059
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
Sn=1+2+3+4+5+6+· · ·+n
S =1+2+3+4+5+6+· · ·
Vn=2+4+6+8+· · ·+2n V =1+5+9+11+· · · Snt =1+t+t2+t3+· · ·+tn
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
X
a) Laufvariable k, t,l,· · · b) Anfangswert: 0, 1, 6, beliebig.
X
k=0
, X
t=1
, X
l=6
,
c) Endwert. n,∞,· · ·
n
X
k=0
,
∞
X
t=−3
,
T
X
l=6
,
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
Sn=1+2+3+4+6+· · ·+n = P
k=1
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
Sn=1+2+3+4+6+· · ·+n =
n
P
k=1
k
Darstellung eines Ausdrucks mit Summenzeichen ( P )
Sn=1+2+3+4+6+· · ·+n =
n
P
k=1
k =
n
P
r=1
r
S =1+5+9+13+· · ·=
∞
P
t=0
(4t+1)
25
P
t=0 2t
(t+1)! = (0+1)!20 +(1+1)!21 +(2+1)!22 +· · ·+(25+1)!225
Unterteilung einer Summe
Sn=
n
P
t=1 t2 t3+1 =
6
P
t=1 t2 t3+1+
75
P
t=7 t2 t3+1+
n
P
t=76 t2
t3+1 (n ≥100)
Sn=
n
P
t=t0
f(t) =
r
P
t=t0
f(t) +
n
P
t=r+1
f(t) (n≥r)
Vollst¨ andige Induktion
Satz: Beweis durch vollst¨andige Induktion
Der Beweis der G¨ultigkeit einer Aussage A(n) f¨ur allen ∈Nwird durch vollst¨andige Induktion in drei Schritten durchgef¨uhrt.
1 Man zeigt, dassA(1) gilt, (Induktionsanfang)
2 Man nimmt an, dass A(n) f¨ur irgend ein n gilt, (Induktionsannahme).
3 Man zeigt: Aus der Annahme A(n) ist richtig, folgtA(n+1) ist richtig (Induktionsschluss).
Vollst¨ andige Induktion
Beispiel:A(n) :
n
P
t=1
(2t−1) =n2.:
(i) Induktionsanfang:n=1.
1
X
t=1
(2t−1) =2·1−1=1. 12=1=⇒A(1).
(ii) Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass
n
P
t=1
(2t−1) =n2 (ii) Induktionschluß: Zu zeigen ist dass,
n+1
P
t=1
(2t−1) = (n+1)2
n+1
X
t=1
(2t−1) =
n
X
t=1
(2t−1) + (2(n+1)−1)
= n2+2n+2−1
= n2+2n+1
= (n+1)2
