Folgen und endliche Summen
• Folgen und ihre Eigenschaften
• Endliche arithmetische und geometri- sche Folgen und Reihen
• Vollst ¨andige Induktion
• Anwendungen
Folgen
Im Allgemeinen besteht eine Folge aus einer Anord- nung (nullter, erster, zweiter . . . Wert) von gewissen reellen Zahlen. Durch diese Anordnung wird jeder nat ¨urlichen Zahl n ∈ IN genau ein Wert a ( n ) zuge- ordnet und eine Reihenfolge festgelegt:
a (0) , a (1) , a (2) , . . .
Definition
Eine Abbildungsvorschrift a : IN → IR mit a(n) = a n heißt (unendliche) Folge. Hierf ¨ ur schreibt man auch
(a n ) n ∈ IN = (a n ) = a 0 , a 1 , a 2 , . . .
Die reellen Zahlen a n heißen Folgenglieder.
H ¨aufig beginnt die Abbildungsvorschrift nicht mit der
Zahl Null, sondern mit der Eins. Daher benutzen
wir das Symbol IN + := IN \{ 0 } f ¨ur die Menge der
positiven nat ¨urlichen Zahlen.
Beispiel
a) Die Folge 1, 3, 5, 7, . . . der ungeraden nat ¨urli- chen Zahlen kann man schreiben als
a 0 = a(0) = 1, a 1 = a(1) = 3, a 2 = a(2) = 5, a 3 = a(3) = 7,
usw. Das Bildungsgesetz f ¨ur die Folgenglieder lautet offensichtlich
a n = a(n) = 2n + 1.
Statt die Folge — wie eingangs — durch Auf- z ¨ahlung ihrer Glieder zu definieren, k ¨onnen wir daher auch (2 n +1) n ∈ IN (Definition mittels Ab- bildungsvorschrift) schreiben.
b) Die Folge 1 3 , 2 3 , 3 3 , . . . l ¨asst sich auch durch ( n 3 ) n ∈ IN
+ angeben.
c) Die alternierende, nur aus zwei Werten beste-
hende Folge 1 , − 1 , 1 , − 1 . . . kann durch das
Bildungsgesetz a n = ( − 1) n , n ∈ IN , definiert
werden.
Umgebung eines Punktes
Zur Untersuchung von Grenzwerteigenschaften von Folgen, ben ¨otigt man Kenntnisse ¨uber
” Abstands- verhalten“ von Folgengliedern.
Abstand zweier reeller Zahlen x und a: | x − a | .
Die Menge aller Punkte x ∈ IR, die von einem Punkt a einen Abstand kleiner als eine vorgegebene Zahl ε haben, bilden eine Umgebung von a.
Definition
F ¨ ur ε > 0 ist die ε -Umgebung von a defi- niert durch
U ε (a) := { x ∈ IR | | x − a | < ε }
= { x ∈ IR | a − ε < x < a + ε } .
Mit a = 0 und ε = 1 ergibt sich U 1 (0) zu
-
x
f f
− 1 0 1
Konvergenzbegriff
Der Konvergenzbegriff l ¨asst sich exemplarisch an der Folge − 2n 1 n ∈ IN
+
= − 1 2 , − 1 4 , − 1 6 , . . . und de- ren Visualisierung studieren:
-1/2 -1/4 -1/6 -1/8 0
x a 4
a 3 a 2
a 1
Die Folge hat die Eigenschaften:
a) Mit zunehmenden n werden die Folgenglieder a n gr ¨oßer und unterscheiden sich dabei immer weniger von der Zahl 0.
b) In jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl 0 (U ε (0), ε beliebig klein gew ¨ahlt!) liegen fast alle Glieder der Folge.
D.h. nur endlich viele Glieder liegen außerhalb
der vorgegebenen Umgebung.
Konvergenzbegriff — Fortsetzung
• Beispielsweise liegen in U 1/6 (0) alle Folgen- glieder mit Ausnahme der ersten drei,
• in U 1 / 100 (0) alle mit Ausnahme der ersten f ¨unf- zig ( | a 51 | < 1/100),
• in U 1/1000 (0) alle mit Ausnahme der ersten f ¨unfhundert ( | a 501 | < 1/1000), usw.
Fast alle Folgenglieder bedeutet somit: alle mit Aus- nahme von endlich vielen.
F ¨ur unsere Folge gilt f ¨ur fast alle n ∈ IN + a n ∈ U ε (0) bzw.
− 1
2n − 0
< ε. ( ∗ ) Bei jeder Wahl f ¨ur ε liegen nur endlich viele Folgen- glieder außerhalb von U ε (0). Die Ungleichung ( ∗ ) 1 / (2 n ) < ε kann ¨aquivalent umgeformt werden in
n > 1/(2ε).
Diese Ungleichung wird bereits von der kleinsten
Zahl n ∈ IN erf ¨ullt, die gr ¨oßer als 1/(2ε) ist.
Konvergenz bzw. Divergenz einer Folge
Fast alle bedeutet auch: mindestens alle ab einem bestimmten Index n 0 .
So wie sich unsere Beispielfolge der Zahl 0 n ¨ahert, kann sich eine Folge i. Allg. nat ¨urlich einer beliebi- gen Zahl a ∈ IR n ¨ahern.
Definition
Die Folge (a n ) heißt konvergent mit dem Grenzwert (oder Limes) a , falls zu jedem ε > 0 eine nat ¨ urliche Zahl n 0 existiert, so dass f ¨ ur alle n ≥ n 0 , n ∈ IN , gilt
| a n − a | < ε . Man schreibt dann symbolisch (mit sog. Limeszeichen oder einfacher):
n lim →∞ a n = a oder a n → a.
Ist a = 0 , so heißt (a n ) Nullfolge. Exis-
tiert keine derartige Zahl a , dann heißt (a n )
divergent.
Beispiel
a) Egal, welches beliebige ε man sich auch vor- gibt, f ¨ur die Folge
− 1 2n
n ∈ IN +
findet man immer ein geeignetes n 0 , n ¨amlich n 0 > 1/(2ε). Somit gilt
| − 1 / (2 n ) − 0 | < ε
f ¨ur n > n 0 , also ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 0, d.h. eine Nullfolge.
b) Auch die durch
a n = 1
n , n ∈ IN + ,
definierte Folge ist eine Nullfolge. Die Existenz der Zahl n 0 ergibt sich direkt aus der Umfor- mung von Gleichung
| 1/n − 0 | < ε
zu n > 1/ε. F ¨ur jede nat ¨urliche Zahl gr ¨oßer als
1/ε ist somit | a n − a | < ε erf ¨ullt.
Divergente Folgen
Es gibt auch Folgen, die keinen Grenzwert besitzen.
Beispielsweise hat die Folge a n = ( − 1) n keinen Grenzwert, da unendlich viele Folgenglieder gleich 1 (a 0 , a 2 , a 4 , . . .), aber auch unendlich viele gleich
− 1 (a 1 , a 3 , a 5 , . . .) sind. In keiner Umgebung U ε (1) bzw. U ε ( − 1) liegen also fast alle Folgenglieder.
Die Folge a n = n 3 zeigt ein interessantes Verhal- ten: Ihre Folgenglieder werden immer gr ¨oßer, schließ- lich ” beliebig groß“. Mathematisch kann man dies wie folgt ausdr ¨ucken:
Sei M > 0 eine reelle Zahl, dann sind nur endlich viele Folgenglieder kleiner als M . Fast alle Glieder, n ¨amlich diejenigen a n mit n > √ 3
M sind gr ¨oßer als M . Da die Wahl von M dabei belanglos ist, hat man die Aussage:
F ¨ur alle M > 0 gilt, dass fast alle Folgenglieder
gr ¨oßer als M sind.
Bestimmte Divergenz
Definition
Wenn f ¨ ur eine Folge (a n ) die Aussage
” F ¨ ur alle M > 0 bzw. M < 0 gilt, dass fast alle Glieder a n gr ¨ oßer bzw. kleiner als M sind“
erf ¨ ullt ist, dann nennt man sie bestimmt di- vergent mit dem uneigentlichen Grenzwert
∞ bzw. −∞ . Man schreibt dann
n lim →∞ a n = ∞ bzw. n lim
→∞ a n = −∞ .
Beschr ¨anktheit und Monotonie
Weitere wichtige Eigenschaften, mit deren Hilfe man Konvergenzuntersuchungen durchf ¨uhren kann, sei- en nachfolgend definiert:
Definition
Eine Folge (a n ) heißt nach oben bzw. nach unten beschr ¨ankt, falls es eine Zahl M o bzw. M u gibt, mit
a n ≤ M o bzw. a n ≥ M u f ¨ ur alle n ∈ IN.
Eine Folge heißt beschr ¨ankt, falls sie so- wohl nach oben als auch nach unten be- schr ¨ankt ist.
Folgen, f ¨ ur deren Glieder
a n+1 ≥ a n bzw. a n+1 ≤ a n
f ¨ ur alle n ∈ IN gilt, nennt man monoton
wachsend bzw. monoton fallend.
Monotoniekriterium
Damit l ¨asst sich nun ein wichtiges Ergebnis, das wir hier nicht beweisen wollen, formulieren:
Eine monoton wachsende, nach oben be-
schr ¨ankte bzw. monoton fallende, nach un-
ten beschr ¨ankte Folge ist konvergent.
Beispiel
Die bereits untersuchte Folge ( a n ) =
− 1 2 n
, n ∈ IN + , ist wegen
− 1
2( n + 1) > − 1 2 n monoton wachsend.
Da sie durch die Zahl 0 nach oben beschr ¨ankt ist, konvergiert sie.
Wir haben schon gezeigt, dass sie eine Nullfolge ist.
Grenzwertregeln
F ¨ur die Bildung von Grenzwerten gelten gewisse Rechenregeln, die es erlauben, von den Grenzwer- ten einfacher Folgen — etwa (a n ), (b n ) — auf die Grenzwerte komplizierter Folgen, wie z.B. Summen- folge (a n +b n ) oder Produktfolge (a n · b n ), zu schlie- ßen:
F ¨ ur zwei konvergente Folgen (a n ) und (b n ) mit den Grenzwerten a und b gilt:
n lim →∞ (a n + b n ) = a + b,
n lim →∞ (a n − b n ) = a − b,
n lim →∞ (a n · b n ) = a · b,
n lim →∞ (c · a n ) = c · a, c ∈ IR const.
n lim →∞
a n b n
= a
b , falls b n 6 = 0, b 6 = 0.
Grenzwertregeln bei bestimmter Divergenz Ist eine der Folgen ( a n ), ( b n ) bestimmt divergent, z.B. lim n →∞ b n = ∞ , dann gelten ¨ahnliche Re- chenregeln ( dabei soll ∞ keine Zahl sein, sondern ein Symbol f ¨ur bestimmte Divergenz):
” a ± ∞ = ±∞ “ ,
” a · ∞ = ±∞ “ ,
”
∞ a = 0 “ ,
” ∞ a = ±∞ “ . Ferner gilt auch
” ∞ · ∞ = ∞ “ . Man beachte aber, dass
” ∞ − ∞ , 0 · ∞ , 0
0 , ∞
∞ , 0 0 ; 1 ∞ “
(0 steht dabei als Symbol f ¨ur lim n →∞ a n = 0) un- bestimmte Formen sind und bei jedem Auftreten ei- ne eigene Untersuchung erfordern.
Es gilt lediglich (falls b 6 = 0)
” b
0 = ±∞ “ .
Beispiel
a) Da wir bereits wissen, dass
n lim →∞
1
n = 0 ist, k ¨onnen wir nun schließen:
n lim →∞
1
n 2 = lim
n →∞
1
n · lim
n →∞
1
n = 0 · 0 = 0.
b) Um den Grenzwert der durch a n = 4 − n
2 n − 1
definierten Folge zu bestimmen, benutzen wir lim n →∞ n 1 = 0 und erhalten
n lim →∞
4 − n
2n − 1 = lim
n →∞
n
n · (4/n) − 1 2 − 1/n
= 4 · 0 − 1
2 − 0 = − 1
2 .
Wichtige Grenzwerte
Ohne Beweise f ¨uhren wir einige Grenzwerte von Fol- gen auf, deren Kenntnis f ¨ur sp ¨atere Anwendungen wichtig ist:
Es seien c ∈ IR eine Konstante und q eine reelle Zahl mit | q | < 1 , dann gilt:
n lim →∞
√ n
c = 1, n lim
→∞
√ n
n! = ∞ ,
n lim →∞
√ n
n = 1, n lim
→∞ q n = 0.
Arithmetische und geometrische Folge
Definition
Eine Zahlenfolge (a n ) heißt arithmetische bzw. geometrische Folge, falls die Differenz k bzw. der Quotient q benachbarter Elemen- te konstant ist, d.h.
a n+1 − a n = k bzw. a n+1
a n = q.
Bei der geometrischen Folge ist nat ¨ urlich
a n 6 = 0 f ¨ ur alle n ∈ IN erforderlich.
Bildungsgesetze Unmittelbar aus der Definition folgt:
Arithmetische bzw. geometrische Folgen besitzen beide jeweils ein einfaches Bil- dungsgesetz:
a n = a 0 + n · k bzw. a n = a 0 · q n .
Das ” arithmetische“ Bildungsgesetz erkennt man so- fort.
Das ” geometrische“ Bildungsgesetz folgt wegen a n
a n − 1 = q aus
a n = a n − 1 q = ( a n − 2 q ) · q
= ( a n − 3 q ) · q 2 = . . . = a 0 q n .
Beispiel
a) Durch a n = n/ 2, d.h.
0 , 1
2 , 1 , 3
2 , 2 , . . . ,
ist eine arithmetische Folge mit k = 1 2 definiert.
b) Durch a n = 2 n , d.h.
(a n ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . ,
ist eine geometrische Folge mit q = 2 gege-
ben.
Das Summenzeichen
Endliche Summen, die aus vielen Summanden be- stehen, schreibt man in der Regel bequemer durch Benutzung des Summenzeichens P .
So z.B. die Summe s n in der Form
n − 1 X i=0
a i := a 0 + a 1 + . . . + a n − 1 .
Definitionsgem ¨aß ist dabei der Summationsindex i der Reihe nach durch die Zahlen 0 bis n − 1 zu ersetzen. Allgemein l ¨asst sich dann die Summe der Summanden
a m , a m+1 , . . . , a n ; n ≥ m, schreiben als
X n i=m
a i := a m + a m +1 + . . . + a n .
Wert von endlicher arithmetischer und geometrischer Reihe
Es gibt einfache Formeln, mit denen man den Wert der Reihen sofort berechnen kann:
Ist s n := a 0 + a 1 + . . . + a n − 1 eine endliche arithmetische Reihe, dann gilt:
s n = n
2 (a 0 + a n − 1 ).
Ist s n := a 0 + a 1 + . . . + a n − 1 eine end- liche geometrische Reihe mit dem Quotien- ten q := a k+1 /a k 6 = 1 , dann gilt:
s n = a 0 q n − 1 q − 1 .
Die Formel f ¨ur die arithmetische Reihe l ¨asst sich mit
einer Idee von Klein-Gauß leicht herleiten.
Beweisprinzip der Vollst ¨andigen Induktion
Um die G ¨ ultigkeit einer Aussage A(n) f ¨ ur alle nat ¨ urlichen Zahlen n ∈ IN zu bewei- sen, muss man zweierlei zeigen:
• A(0) ist wahr, d.h. die Aussage gilt f ¨ ur n = 0 (Induktionsbeginn),
• Aus A(n) folgt A(n + 1) , d.h. wenn die Aussage f ¨ ur eine beliebige nat ¨ urli- che Zahl n gilt, dann gilt sie auch f ¨ ur die nachfolgende Zahl n+1 (Induktions- schluss).
Der Induktionsbeginn besagt also: A (0) gilt. Durch den Induktionsschluss folgt, dass die Aussage auch f ¨ur den Nachfolger 1 der Zahl 0 gilt: also A(1). Wie- derum durch den Induktionsschluss folgt, dass die Aussage auch f ¨ur den Nachfolger 2 der Zahl 1 gilt:
also A (2), usw. Damit kann man A ( n ) f ¨ur jede be-
liebige nat ¨urliche Zahl n zeigen.
Bemerkungen zum Prinzip der Vollst ¨andigen Induktion
• Statt von
” Induktionsbeginn“ spricht man auch von ” Induktionsanfang“ oder
” Induktionsbasis“;
f ¨ur den
” Induktionsschluss“ sind ebenso die Be- griffe
” Induktionsschritt“ oder
” Schritt von n auf n + 1 “ gebr ¨auchlich.
• Der Induktionsbeginn muss nicht bei 0 liegen, auch 1 oder irgendeine andere nat ¨urliche (oder sogar ganze) Zahl sind ¨ublich.
• Es gibt M ¨oglichkeiten der Verallgemeinerung:
Man kann etwa im Induktionsschritt von A (0), A(1), ..., A(n) auf A(n + 1) schließen, also nicht von einer Zahl auf die n ¨achste, sondern von mehreren Vorg ¨angern aus.
Andererseits gelten Aussagen nur f ¨ur alle ge-
raden bzw. ungeraden Zahlen, wenn man von
A ( n ) auf A ( n + 2) im Induktionsschluss fol-
gern kann.
Beispiel
Beweis der folgenden Summenformel:
1 + 2 + 3 + ... + n =
X n i =1
i = n · (n + 1)
2 ( ∗ ) Induktionsbeginn:
Gezeigt wird Formel ( ∗ ) f ¨ur n = 1.
F ¨ur n = 1 besteht die Summe auf der linken Seite nur aus einem einzigen Summanden, n ¨amlich der 1.
Auf der rechten Seite ergibt n(n+1) 2 nach Einsetzen von n = 1 ebenfalls
1 · (1 + 1)
2 = 1 · 2
2 = 1,
womit dann die Formel ( ∗ ) f ¨ur n = 1 bewiesen w ¨are.
Induktionsschluss:
Wir setzen jetzt voraus, dass die Formel ( ∗ ) f ¨ur n gilt, und zeigen, dass sie dann auch f ¨ur n + 1 richtig ist. Also formal aufgeschrieben:
Induktionsvoraussetzung: (Das wird vorausgesetzt!) 1 + 2 + 3 + ... + n = n · (n + 1)
2 ( ∗∗ )
Summen — V ollst ¨andige Induktion 1 + 2 + 3 + ... + n = n · (n + 1)
2 ( ∗∗ )
Induktionsbehauptung: (Das ist zu zeigen!)
1 + 2 + 3 + ... + n + ( n + 1) = ( n + 1) · ( n + 2)
2 ( ∗ ∗ ∗ )
Auf die Induktionsbehauptung wiederum kommt man, indem man in der Induktionsvoraussetzung ¨uberall, wo n steht, dieses durch n + 1 ersetzt (auf Klammersetzung achten!).
Beim Induktionsschluss kommt es nun darauf an, ( ∗ ∗ ∗ ) aus ( ∗∗ ) herzu- leiten — man wird also auch irgendwo in der Beweiskette das Bekannte, also ( ∗∗ ), benutzen m ¨ussen. Wir starten mit der linken Seite der Indukti- onsbehauptung:
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = [1 + 2 + 3 + ... + n]
| {z }
n(n + 1)
+(n + 1)
k ompakt
Summen — V ollst ¨andige Induktion Beispiel — Fortsetzung
Wir starten mit der linken Seite der Induktionsbehauptung:
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = [1 + 2 + 3 + ... + n]
| {z }
= n ( n + 1) 2
+(n + 1)
nach Induktionsvoraussetzung ( ∗∗ ), und fahren fort mit dem Ausklammern von ( n + 1):
n(n + 1)
2 + ( n + 1) = ( n + 1) ·
n
2 + 1
= ( n + 1) · (n + 2) 2 . Damit haben wir die rechte Seite der Induktionsbehauptung ( ∗ ∗ ∗ ) stehen
— was zu beweisen war!
k ompakt
Rekursion, Fakult ¨aten
Vollst ¨andige Induktion ist eng verwandt mit Rekursi- on, was folgendes Beispiel gut verdeutlicht:
Fakult ¨aten sind bekanntlich definiert als
n ! = n · ( n − 1) · ( n − 2) · ... · 3 · 2 · 1 , etwa
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
Wenn man nun aber 5! = 120 kennt, w ¨are es doch dumm, 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 auszurechnen — das geht n ¨amlich einfacher:
6! = 6 · 5! = 6 · 120 = 720 .
Dass man, wie gesehen, 6! auf 6 · 5! zur ¨uckf ¨uhren kann, wird mit dem Begriff Rekursion bezeichnet.
Fakult ¨aten kann man also rekursiv definieren:
0! := 1 , ( n + 1)! = ( n + 1) · n ! .
Potenzen, Potenzgesetze
Ein anderes Beispiel f ¨ur eine rekursive Definition sind Potenzen:
a 0 = 1, a n +1 = a n · a.
Wenn man nun noch Potenzen f ¨ur negative Expo- nenten wie folgt erkl ¨art:
a − n = (a − 1 ) n =
1 a
n
= 1 a n ,
dann gelten (zun ¨achst f ¨ur ganze Zahlen m, n) die bekannten Potenzgesetze:
a m · a n = a m+n , a m
a n = a m − n , (a m ) n = a m · n ,
(a · b) n = a n · b n ,
a b
