Indirekter Beweis
Um zu zeigen, dass aus Voraussetzungen V eine BehauptungB folgt (V =⇒B), kann man die Annahme, dass die AussageB bei G¨ultigkeit der Voraussetzungen V falsch ist, zu einem Widerspruch f¨uhren:
V ∧(¬B) =⇒ F,
mit einer falschen Aussage F, insbesondere F =¬V oderF =B. Speziell gilt
B = (¬B =⇒F),
falls keine Voraussetzungen getroffen sind, d.h. die Aussage B ist wahr, wenn aus der Annahme, dass B falsch ist, die G¨ultigkeit einer falschen Aussage F gefolgert werden kann.
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Beweis
(i) Beweismethode durch Widerspruch:
V ∧(¬B) =⇒ F
Umformung mit der Darstellung der Implikation als Disjunktion, C =⇒ D = ¬C ∨D, und der De Morganschen Regel,
¬(C ∧D) = ¬C ∨ ¬D
¬(V ∧(¬B))∨F = (¬V)∨B∨F , d.h. die
”Widerspruchsimplikation“ ist wahr g.d.w. B wahr ist, denn ¬V und F sind falsch
(ii) ¨Aquivalente Darstellung von B:
¬B=⇒F = B∨F = B, da F falsch ist
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Beispiel
Indirekter Beweis der Irrationalit¨at von √ 2
Annahme, dass die Behauptung B falsch ist, d.h. es gilt (bzw. wahr ist)
¬B : √ 2 = p
q mitp,q ∈N∧ggT(p,q) = 1 (gek¨urzter Bruchp/q) und ggT dem gr¨oßten gemeinsamen Teiler
Quadrieren und Multiplikation mit q2 2q2 =p2
=⇒ p2 und p gerade:p = 2r q2= 2r2 =⇒ q gerade Widerspruch zu ggT(p,q) = 1, d.h.
(¬B) =⇒ F,eine falsche Aussage ; also ist B wahr
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