Zeigen Sie, dass σ(f, P)≤L·η(P)· |b−a| gilt

O. Schnürer, L. S. Krapp Universität Konstanz

Sommersemester 2020 Fachbereich Mathematik und Statistik

Übungen zur Vorlesung Analysis II Blatt 5

Abgabe von:Mein Name Tutor(in):Mein Lieblingstutor

1 2 3 4 Σ

Allgemeiner Hinweis: Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Korollar 5.9 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekenn- zeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.

Aufgabe 5.1 (Integrabilität und Lipschitzstetigkeit) [4 + 2* Punkte]

Seiena, b∈Rmita < bund seiI = [a, b]. Sei fernerf:I →Reine lipschitzstetige Funktion mit KonstanteL≥0, d. h. es gelte

|f(x)−f(y)| ≤L· |x−y|

für alle x, y∈I.

(i) Sei P eine Partition vonI. Zeigen Sie, dass

σ(f, P)≤L·η(P)· |b−a|

gilt. Folgern Sie, dass f das Riemannsche Integrabilitätskriterium erfüllt.

(ii)* Untersuchen Sie hölderstetige Funktionen auf Riemannsche Integrabilität.

Lösung:

Aufgabe 5.2 (Riemann Integrabilität) [1 + 1 + 1 + 1 Punkte]

Welche der folgenden Funktionen sind Riemann integrabel?

(a) f: [a, b]→R, x7→sin(x), mita, b∈Rund a < b.

(b) g: [0,2020]→R, x7→

(1, x∈[n, n+ 1), ngerade,

−1, x∈[n, n+ 1), nungerade.

(c) u: [0,1]→R, x7→







sin¹_x, x >0,

0, x= 0.

(Hinweis: Betrachten Sie für ε >0 die beiden Intervalle [0,₄^ε] und [₄^ε,1].)

(d) v: [−1,1]→R, x7→

(1, x∈R\Q, 0, x∈Q. Lösung:

1

Aufgabe 5.3 (Riemannsches Integral) [4 + 2* Punkte]

Seif:R→R, x7→x².

(i) Sei a∈R>0 und setzeg=f|_[0,a]. Berechnen Sie Z a

0

g(x)dx.

(ii)* Seien a, b∈Rmita≤bund setze h=f|_[a,b]. Berechnen Sie Z b

a

h(x)dx.

Lösung:

Aufgabe 5.4 (Gleichmäßige Konvergenz) [1 + 1 + 2 Punkte]

SeiK ein kompakter metrischer Raum und sei f_n:K →Reine monoton fallende Folge stetiger Funktionen, d. h. es gelte

f_n(x)≥f_m(x)

für alle x∈K und allem, n ∈Nmit m≥n. Sei ferner g:K → Rstetig und konvergiere (f_n)_n punktweise gegen g fürn→ ∞.

(i) Sei h_n=f_n−g für alle n∈N. Zeigen Sie, dass (h_n)_n eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen ist, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.

(ii) Sei ε > 0. Zeigen Sie, dass die Familie (A_n)_n∈N gegeben durch A_n := h⁻¹_n ((−∞, ε)) eine offene Überdeckung von K ist.

(iii) Folgern Sie, dassf_n⇒g für n→ ∞ gilt.

Lösung:

Abgabe: Bis Freitag, 22. Mai 2020, 09:54 Uhr, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.

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