Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 12.01.2016 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
11. ¨Ubungsblatt zur Numerik station¨arer Differentialgleichungen
Aufgabe 29:
(a) Zeigen Sie f¨ur lineare Interpolation in den Ecken des Referenzdreiecks ˆK kv−Πvkˆ 0 ≤C|v|2 f¨ur allev ∈H2( ˆK) . Hinweis: Verwenden Sie
v(x)−v(0) = Z 1
0
d
dtv(tx)dt=Dv(x)x− Z 1
0
td2
dt2v(tx)dt
und dieselbe Formel f¨ur ˆΠv.
(b) Zeigen Sie mittels (a) f¨ur die lineare Interpolation in den Ecken eines beliebigen Dreiecks K mit Durchmesserh
kv−Πvk0≤C h2|v|2 f¨ur alle v∈H2(K) , wobeiC nicht von K abh¨angt.
Aufgabe 30:
(a) Zeigen Sie f¨ur bilineare Interpolation in den Ecken des Einheitsquadrats ˆK
|v−Πv|ˆ 1 ≤C|v|2 f¨ur alle v∈H2( ˆK) .
(b) Schließen Sie daraus f¨ur den Interpolationsfehler eines aus ˆK affin erzeugten finiten Elements K mit Durchmesser h und Inkreisradiusρ :
|v−Πv|1 ≤Ch2
ρ |v|2 f¨ur alle v∈H2(K) , wobeiC nicht von K abh¨angt.
Aufgabe 31:
Das elliptische Variationsproblema(u, v) =l(v) ∀v ∈V mitV ⊂H1(Ω) werde durch ein Galerkin- Verfahren mit ApproximationsraumVh ≤V, einer angen¨aherten Linearform lh :Vh →Rund einer angen¨aherten Bilinearformah :Vh×Vh →Rapproximiert:
Bestimme uh ∈Vh mitah(uh, vh) =lh(vh) ∀vh ∈Vh.
Dabei seien die Bilinearformenah gleichgradig elliptisch, dass heisst mit einer von h unabh¨angigen Zahlα >0 gelte
αkwhk21 ≤ah(wh, wh) ∀wh∈Vh.
Zeigen Sie f¨ur den Fehler (Lemma von Strang):
ku−uhk1≤c
vhinf∈Vh(ku−vhk1+ka(vh,·)−ah(vh,·)k∗) +kl−lhk∗
,
wobei die Operatornormk · k∗ als kFk∗= sup06=w
h∈Vh
|F(wh)|
kwhk1 definiert ist.
Hinweis: Fangen Sie mit der gleichgradigen Elliptizit¨at von ah f¨urwh =uh−vh an.
Besprechung in der ¨Ubung am 19.01.2016.
Ansprechpartner: Sarah Eberle,
eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde nach Vereinbarung
