Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 30. Mai 2011

Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 30. Mai 2011

7. ¨Ubungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen II

Aufgabe 16: Sei T_h eine Triangulierung vom Gebiet O ⊂ R^d. Zeigen Sie: F¨ur eine inter- polatorische QuadraturformelQ_T(·) der Ordnung r≥dauf einer ZelleT ∈ T_h angewendet auf eine Funktionv∈W^1,r(T) gilt

¯

¯

¯

¯ Z

T

vdx−Q_T(v)

¯

¯

¯

¯

≤Ch^r_T Z

T

|∇^rv|dx,

mit einer von T und v unabh¨angigen Quadraturkonstante C >0.

Hinweis: Beweisen Sie die Annahmen des Bramble-Hilbert Lemmas f¨ur L¹( ˆT), wobei ˆT die Referenzzelle ist. Benutzen Sie dann die Transformationsformel, um das Ergebnis auf T zu erhalten.

Aufgabe 17: SeiU ⊂H ein Hilbertraum und U_h ⊂U ein abgeschlossener Unterraum. Sei U^cG` :=©

u_h ∈C([0, T;U_h])¯

¯ u_h|_(tn−1,tn) ∈P`((tn−1, t_n];U_h)ª .

Definiere die ProjektionP^c_h :C¹([0, T];H)→U^cG_` als Z tn

tn−1

([P^c_h(u)]_t, v_h) ds= Z tn

tn−1

(u_t, v_h) ds ∀v_h ∈P`−1((tn−1, t_n];U_h)

f¨ur u∈C¹([0, T];H). Hier istP^c_hu(0) =Phu(0), wobei Ph :H→Uh dieL²-Projektion ist, und

t%tlimn

P^c_h(u)(t) = lim

t&tn

P^c_h(u)(t).

(i) Zeigen Sie

P^ch(u)(tn) =Ph(u(tn)).

Hinweis: Induktion ¨uber n.

(ii) Benutzen Sie das obige Ergebnis, um die folgende Charakterisierung von P^c_h anzugeben:

Z tn

tn−1

(P^ch(u), v_h) ds= Z tn

tn−1

(u, v_h) ds ∀v_h ∈P`−2((tn−1, t_n];U_h).

• Hinweis: Partielle Integration.

Besprechung der Aufgaben in der ¨Ubungsstunde am 06. 06. 2011.